Varbūtību teorija. Notikuma varbūtība, nejauši notikumi (varbūtības teorija)

Klasiskā varbūtības definīcija.

Notikuma varbūtība ir kvantitatīvs mērs, kas tiek ieviests, lai salīdzinātu notikumus pēc to rašanās iespējamības pakāpes.

Notikumu, ko var attēlot kā vairāku elementāru notikumu kopu (summu), sauc par saliktu notikumu.

Notikumu, ko nevar sadalīt vienkāršākos, sauc par elementāru.

Notikums tiek saukts par neiespējamu, ja tas nekad nenotiek noteiktā eksperimenta (testa) apstākļos.

Noteikti un neiespējami notikumi nav nejauši.

Kopīgie pasākumi- vairākus notikumus sauc par kopīgiem, ja eksperimenta rezultātā viena no tiem iestāšanās neizslēdz citu iestāšanos.

Nesaderīgi notikumi– vairāki notikumi šajā eksperimentā tiek saukti par nesaderīgiem, ja viena no tiem iestāšanās izslēdz citu iestāšanos. Abi notikumi tiek saukti pretī, ja viens no tiem notiek tad un tikai tad, ja otrs nenotiek.

Notikuma A varbūtība ir P(A) – sauc par skaitļa attiecību m elementāri notikumi (iznākumi), kas veicina notikuma izskatu A, uz numuru n no visiem elementārajiem notikumiem noteiktā varbūtības eksperimenta apstākļos.

No definīcijas izriet šādas varbūtības īpašības:

1. Nejauša notikuma varbūtība ir pozitīvs skaitlis no 0 līdz 1:

(2)

2. Noteikta notikuma varbūtība ir vienāda ar 1: (3)

3. Ja notikums nav iespējams, tad tā varbūtība ir

(4)

4. Ja notikumi un nav savienojami, tad

5. Ja notikumi A un B ir kopīgi, tad to summas varbūtība ir vienāda ar šo notikumu varbūtību summu bez to kopīgās iestāšanās varbūtības:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)(6)

6. Ja un ir pretēji notikumi, tad (7)

7. Notikumu varbūtību summa A 1, A 2, ..., A n, veidojot pilnīgu grupu, ir vienāds ar 1:

P(A 1) + P(A 2) + ... + P(A n) = 1.(8)

Ekonomikas pētījumos vērtības un formulu var interpretēt dažādi. Plkst statistiskā definīcija Notikuma varbūtība tiek saprasta kā eksperimenta rezultātu novērojumu skaits, kurā notikums notika tieši vienu reizi. Šajā gadījumā attiecības tiek sauktas notikuma relatīvais biežums (biežums).

Pasākumi A, B sauca neatkarīgs, ja katra no tām varbūtības nav atkarīgas no tā, vai ir noticis cits notikums vai nē. Tiek sauktas neatkarīgu notikumu varbūtības beznosacījuma.

Pasākumi A, B sauca atkarīgi ja katra no tām iespējamība ir atkarīga no tā, vai otrs notikums ir noticis. Tiek izsaukta notikuma B varbūtība, kas aprēķināta, pieņemot, ka jau ir noticis cits notikums A nosacītā varbūtība.

Ja divi notikumi A un B ir neatkarīgi, tad vienādības ir patiesas:

P(B) = P(B/A), P(A) = P(A/B) vai P(B/A) — P(B) = 0(9)

Divu atkarīgo notikumu A, B reizinājuma varbūtība ir vienāda ar viena no tiem iespējamības reizinājumu ar otra nosacīto varbūtību:

P(AB) = P(B) ∙ P(A/B) vai P(AB) = P(A) ∙ P(B/A) (10)

Notikuma B varbūtība, ņemot vērā notikuma A iestāšanos:

(11)

Divu reizinājuma varbūtība neatkarīgs notikumi A, B ir vienādi ar to varbūtību reizinājumu:

P(AB) = P(A) ∙ P(B)(12)

Ja vairāki notikumi ir pa pāriem neatkarīgi, tad to kolektīvā neatkarība no tā neizriet.

Pasākumi A 1, A 2, ..., A n (n>2) ir kolektīvi neatkarīgi, ja katra no tiem iespējamība nav atkarīga no tā, vai ir noticis kāds no citiem notikumiem.

Vairāku kopumā neatkarīgu notikumu kopīgas iestāšanās varbūtība ir vienāda ar šo notikumu varbūtību reizinājumu:

P (A 1 ∙ A 2 ∙ A 3 ∙ ... ∙ A n) \u003d P (A 1) ∙ P (A 2) ∙ P (A 3) ∙ ... ∙ P (A n). (13)

Ja notikuma iestāšanās brīdī notikuma varbūtība nemainās, tad notikumi Un sauca neatkarīgs.

Teorēma:Divu neatkarīgu notikumu kopīgas rašanās varbūtība Un (strādā Un ) ir vienāds ar šo notikumu varbūtību reizinājumu.

Patiešām, kopš notikumiem Un tad neatkarīgs
. Šajā gadījumā notikumu reizinājuma varbūtības formula Un ieņem formu.

Pasākumi
sauca pāri neatkarīgi ja kādi divi no tiem ir neatkarīgi.

Pasākumi
sauca kolektīvi neatkarīgs (vai vienkārši neatkarīgs), ja katrs no tiem ir neatkarīgi un katrs notikums un visi iespējamie pārējo produkti ir neatkarīgi.

Teorēma:Galīga skaita neatkarīgu notikumu reizinājuma varbūtība kopumā
ir vienāds ar šo notikumu varbūtību reizinājumu.

Izmantojot piemērus, ilustrēsim atšķirību notikumu varbūtības formulu pielietošanā atkarīgiem un neatkarīgiem notikumiem

1. piemērs. Varbūtība, ka pirmais šāvējs trāpīs mērķī, ir 0,85, otrais ir 0,8. Ieroči raidīja pa vienam šāvienam. Kāda ir varbūtība, ka vismaz viens šāviņš trāpīs mērķī?

Risinājums: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Tā kā kadri ir neatkarīgi, tad

P(A+B) = P(A) + P(B) –P(A)*P(B) = 0,97

2. piemērs. Urnā ir 2 sarkanas un 4 melnas bumbiņas. No tā pēc kārtas tiek izņemtas 2 bumbiņas. Kāda ir varbūtība, ka abas bumbiņas ir sarkanas.

Risinājums: 1 gadījums. Notikums A - sarkanas bumbiņas parādīšanās pirmajā izņemšanas reizē, notikums B - otrajā. Notikums C ir divu sarkanu bumbiņu parādīšanās.

P(C) \u003d P (A) * P (B / A) \u003d (2/6) * (1/5) \u003d 1/15

2.gadījums. Pirmā izvilktā bumba tiek atgriezta grozā.

P(C) \u003d P (A) * P (B) \u003d (2/6) * (2/6) \u003d 1/9

Kopējās varbūtības formula.

Ļaujiet notikumam var notikt tikai ar vienu no nesaderīgajiem notikumiem
, veidojot pilnīgu grupu. Piemēram, veikals saņem vienus un tos pašus produktus no trim uzņēmumiem un dažādos daudzumos. Šajos uzņēmumos iespēja ražot zemas kvalitātes produktus ir atšķirīga. Viens no produktiem tiek izvēlēts nejauši. Ir nepieciešams noteikt varbūtību, ka šis produkts ir sliktas kvalitātes (notikums ). Pasākumi šeit
- šī ir produkta izvēle no attiecīgā uzņēmuma produktiem.

Šajā gadījumā notikuma varbūtība var uzskatīt par notikumu produktu summu
.

Ar saskaitīšanas teorēmu nesaderīgu notikumu varbūtībām mēs iegūstam
. Izmantojot varbūtības reizināšanas teorēmu, mēs atrodam

.

Iegūto formulu sauc kopējās varbūtības formula.

Bayes formula

Ļaujiet notikumam notiek vienlaikus ar vienu no nesavienojami notikumi
, kuru varbūtības
(
) ir zināmi pirms pieredzes ( a priori varbūtības). Tiek veikts eksperiments, kura rezultātā tiek reģistrēts notikuma iestāšanās , un ir zināms, ka šim notikumam bija noteiktas nosacītas varbūtības
(
). Ir nepieciešams atrast notikumu varbūtības
ja notikums ir zināms notika ( a posteriori varbūtības).

Problēma ir tāda, ka, iegūstot jaunu informāciju (notikums A ir noticis), ir jāpārvērtē notikumu iespējamības
.

Pamatojoties uz teorēmu par divu notikumu reizinājuma varbūtību

.

Iegūto formulu sauc Bayes formulas.

Kombinatorikas pamatjēdzieni.

Risinot vairākas teorētiskas un praktiskas problēmas, no ierobežotas elementu kopas pēc dotajiem noteikumiem ir jāizveido dažādas kombinācijas un jāsaskaita visu iespējamo šādu kombināciju skaits. Tādus uzdevumus sauc kombinatorisks.

Risinot uzdevumus, kombinatorika izmanto summas un reizinājuma noteikumus.

Notikumu atkarība tiek saprasta varbūtības sajūtu, nevis funkcionāli. Tas nozīmē, ka viena no atkarīgo notikumu parādīšanās nevar viennozīmīgi spriest par otra parādīšanos. Varbūtiskā atkarība nozīmē, ka viena atkarīgā notikuma iestāšanās tikai maina otra iestāšanās iespējamību. Ja varbūtība nemainās, notikumi tiek uzskatīti par neatkarīgiem.

Definīcija: Ļaujiet - patvaļīga varbūtības telpa, - daži nejauši notikumi. Viņi tā saka notikumu A nav atkarīgs no notikuma IN , ja tā nosacītā varbūtība ir tāda pati kā tās beznosacījuma varbūtība:

.

Ja , tad sakām, ka pasākums A atkarīgs no notikuma IN.

Neatkarības jēdziens ir simetrisks, tas ir, ja notikums A nav atkarīgs no notikuma IN, tad pasākums IN nav atkarīgs no notikuma A. Patiešām, ļaujiet . Tad . Tāpēc viņi vienkārši saka, ka notikumi A Un IN neatkarīgs.

Sekojošā simetriskā notikumu neatkarības definīcija izriet no varbūtību reizināšanas noteikuma.

Definīcija: Notikumi A Un IN, tiek saukti definēti tajā pašā varbūtības telpā neatkarīgs, Ja

Ja , tad notikumi A Un IN sauca atkarīgi.

Ņemiet vērā, ka šī definīcija ir spēkā arī tad, kad vai .

Neatkarīgo notikumu īpašības.

1. Ja notikumi A Un IN ir neatkarīgi, tad neatkarīgi ir arī šādi notikumu pāri: .

▲ Pierādīsim, piemēram, notikumu neatkarību . Iedomājieties notikumu A kā: . Tā kā notikumi nav savienojami, tad , un notikumu neatkarības dēļ A Un IN mēs to saņemam. Tātad, kas nozīmē neatkarību. ■

2. Ja pasākums A nav atkarīgs no notikumiem IN 1 Un AT 2, kas nav saderīgi () , tas pasākums A nav atkarīgs no summas.

▲ Patiešām, izmantojot notikuma varbūtības un neatkarības aksiomu A no notikumiem IN 1 Un AT 2, mums ir:

Neatkarības un nesaderības jēdzienu saistība.

Ļaujiet A Un IN- jebkuri notikumi, kuru varbūtība nav nulle: , tātad . Ja notikumi A Un IN ir nekonsekventi (), un tāpēc vienlīdzība nekad nevar notikt. Tādējādi nesaderīgi notikumi ir atkarīgi.

Ja vienlaikus tiek aplūkoti vairāk nekā divi notikumi, to pāru neatkarība nepietiekami raksturo saikni starp visas grupas notikumiem. Šajā gadījumā tiek ieviests jēdziens par neatkarību kopumā.

Definīcija: tiek izsaukti notikumi, kas definēti tajā pašā varbūtības telpā kolektīvi neatkarīgs, ja par kādu 2 £ m £n un jebkura indeksu kombinācija nodrošina vienlīdzību:

Plkst m = 2 neatkarība kopumā nozīmē notikumu pāru neatkarību. Pretējais nav taisnība.

Piemērs. (Bernšteins S.N.)

Nejaušs eksperiments sastāv no regulāra tetraedra (tetraedra) mētāšanas. Ir seja, kas izkritusi no augšas uz leju. Tetraedra sejas ir iekrāsotas šādi: 1. seja - balta, 2. seja - melna,
3 sejas - sarkans, 4 sejas - satur visas krāsas.

Apsveriet notikumus:

A= (Baltās krāsas izkrišana); B= (Black drop out);

C= (Sarkanā izkrišana).

Tad ;

Tāpēc notikumi A, IN Un AR ir pa pāriem neatkarīgi.

tomēr .

Tāpēc notikumi A, IN Un AR kopā viņi nav neatkarīgi.

Praksē notikumu neatkarība parasti netiek noteikta, pārbaudot to pēc definīcijas, bet otrādi: viņi uzskata notikumus par neatkarīgiem no kādiem ārējiem apsvērumiem vai ņemot vērā nejauša eksperimenta apstākļus, un izmanto neatkarību, lai atrastu notikumu rašanās varbūtības.

Teorēma (neatkarīgu notikumu varbūtību reizinājumi).

Ja notikumi, kas definēti vienā un tajā pašā varbūtības telpā, kopumā ir neatkarīgi, tad to reizinājuma varbūtība ir vienāda ar varbūtību reizinājumu:

▲ Teorēmas pierādījums izriet no notikumu neatkarības definīcijas summārā vai no vispārējās varbūtības reizināšanas teorēmas, ņemot vērā to, ka šajā gadījumā

1. piemērs (tipisks piemērs nosacīto varbūtību atrašanai, neatkarības jēdziens, varbūtības saskaitīšanas teorēma).

Elektriskā ķēde sastāv no trim neatkarīgi strādājošiem elementiem. Katra elementa atteices varbūtība ir attiecīgi vienāda ar .

1) Atrodiet ķēdes atteices varbūtību.

2) Ir zināms, ka ķēde ir bojāta.

Kāda ir varbūtība, ka tas neizdosies:

a) 1. elements; b) 3. elements?

Risinājums. Apsveriet notikumus = (Neizdevās k elements) un notikumu A= (Shēma neizdevās). Tad pasākums A tiek uzrādīts šādā formā:

.

1) Tā kā notikumi un nav nesavienojami, tad varbūtības Р3) aditivitātes aksioma nav piemērojama un varbūtības noteikšanai jāizmanto vispārējā varbūtības saskaitīšanas teorēma, saskaņā ar kuru

Problēmas vispārīgs izklāsts: dažu notikumu varbūtības ir zināmas, bet ir jāaprēķina citu notikumu iespējamības, kas ir saistītas ar šiem notikumiem. Šajās problēmās ir nepieciešamas tādas darbības ar varbūtībām kā varbūtību saskaitīšana un reizināšana.

Piemēram, medībās tika raidīti divi šāvieni. Pasākums A- sitiens pa pīli no pirmā šāviena, notikums B- trāpīja no otrā metiena. Tad notikumu summa A Un B- sitiens no pirmā vai otrā šāviena vai no diviem šāvieniem.

Dažāda veida uzdevumi. Tiek doti vairāki notikumi, piemēram, monēta tiek iemesta trīs reizes. Jāatrod iespējamība, ka vai nu visas trīs reizes izkritīs ģerbonis, vai arī vismaz vienu reizi ģerbonis izkritīs. Šī ir reizināšanas problēma.

Nesaderīgu notikumu varbūtību pievienošana

Varbūtību saskaitīšanu izmanto, ja nepieciešams aprēķināt nejaušu notikumu kombinācijas vai loģiskās summas varbūtību.

Notikumu summa A Un B iecelt A + B vai A ∪ B. Divu notikumu summa ir notikums, kas notiek tad un tikai tad, ja notiek vismaz viens no notikumiem. Tas nozīmē, ka A + B- notikums, kas notiek tad un tikai tad, ja kāds notikums notiek novērošanas laikā A vai pasākums B, vai tajā pašā laikā A Un B.

Ja notikumi A Un B ir savstarpēji nekonsekventi un ir dotas to varbūtības, tad, izmantojot varbūtību saskaitīšanu, aprēķina varbūtību, ka viens no šiem notikumiem notiks viena izmēģinājuma rezultātā.

Varbūtību saskaitīšanas teorēma. Varbūtība, ka notiks viens no diviem savstarpēji nesaderīgiem notikumiem, ir vienāda ar šo notikumu varbūtību summu:

Piemēram, medībās tika raidīti divi šāvieni. Pasākums A– trāpīt pa pīli no pirmā šāviena, pasākums IN– sitiens no otrā šāviena, notikums ( A+ IN) - sitiens no pirmā vai otrā šāviena vai no diviem šāvieniem. Tātad, ja divi notikumi A Un IN tad tie ir nesavienojami notikumi A+ IN- vismaz viena no šiem notikumiem vai diviem notikumiem.

1. piemērs Kastītē ir 30 vienāda izmēra bumbiņas: 10 sarkanas, 5 zilas un 15 baltas. Aprēķiniet varbūtību, ka krāsaina (ne balta) bumbiņa tiek paņemta, neskatoties.

Risinājums. Pieņemsim, ka pasākums A– “sarkanā bumba ir paņemta”, un notikums IN- "Zilā bumba ir paņemta." Tad notikums ir “paņemta krāsaina (ne balta) bumba”. Atrodiet notikuma iespējamību A:

un notikumi IN:

Pasākumi A Un IN- savstarpēji nesaderīgi, jo, ja tiek ņemta viena bumbiņa, tad nevar ņemt dažādu krāsu bumbiņas. Tāpēc mēs izmantojam varbūtību pievienošanu:

Teorēma par varbūtību saskaitīšanu vairākiem nesaderīgiem notikumiem. Ja notikumi veido visu notikumu kopumu, tad to varbūtību summa ir vienāda ar 1:

Arī pretēju notikumu varbūtību summa ir vienāda ar 1:

Pretēji notikumi veido pilnu notikumu kopu, un pilnīga notikumu kopuma varbūtība ir 1.

Pretēju notikumu varbūtības parasti tiek apzīmētas ar maziem burtiem. lpp Un q. It īpaši,

no kurām izriet šādas pretēju notikumu varbūtības formulas:

2. piemērs Mērķis domuzīmē ir sadalīts 3 zonās. Varbūtība, ka konkrētais šāvējs izšaus mērķī pirmajā zonā ir 0,15, otrajā zonā - 0,23, trešajā zonā - 0,17. Atrodiet varbūtību, ka šāvējs trāpīs mērķī, un varbūtību, ka šāvējs netrāpa mērķī.

Risinājums: atrodiet varbūtību, ka šāvējs trāpīs mērķī:

Atrodiet varbūtību, ka šāvējs netrāpīs mērķī:

Sarežģītāki uzdevumi, kuros jāpiemēro gan varbūtību saskaitīšana, gan reizināšana - lapā "Dažādi uzdevumi varbūtību saskaitīšanai un reizināšanai" .

Savstarpēji kopīgu notikumu varbūtību pievienošana

Tiek uzskatīts, ka divi nejauši notikumi ir kopīgi, ja viena notikuma rašanās neizslēdz otra notikuma iestāšanos tajā pašā novērojumā. Piemēram, metot kauliņus, notikumu A tiek uzskatīts par skaitļa 4 rašanos un notikumu IN- pāra skaitļa nomešana. Tā kā skaitlis 4 ir pāra skaitlis, abi notikumi ir saderīgi. Praksē ir uzdevumi, lai aprēķinātu viena no savstarpēji kopīgu notikumu iestāšanās varbūtību.

Kopīgu notikumu varbūtību saskaitīšanas teorēma. Varbūtība, ka notiks viens no kopīgajiem notikumiem, ir vienāda ar šo notikumu varbūtību summu, no kuras tiek atņemta abu notikumu kopīga iestāšanās varbūtība, tas ir, varbūtību reizinājums. Kopīgo notikumu varbūtību formula ir šāda:

Jo notikumi A Un IN saderīgs, pasākums A+ IN notiek, ja notiek viens no trim iespējamiem notikumiem: vai AB. Saskaņā ar nesaderīgu notikumu pievienošanas teorēmu mēs aprēķinām šādi:

Pasākums A notiek, ja notiek viens no diviem nesaderīgiem notikumiem: vai AB. Tomēr viena notikuma iestāšanās varbūtība no vairākiem nesaderīgiem notikumiem ir vienāda ar visu šo notikumu varbūtību summu:

Līdzīgi:

Aizvietojot izteiksmes (6) un (7) izteiksmē (5), iegūstam kopīgo notikumu varbūtības formulu:

Izmantojot formulu (8), jāņem vērā, ka notikumi A Un IN var būt:

• savstarpēji neatkarīgs;
• savstarpēji atkarīgi.

Savstarpēji neatkarīgu notikumu varbūtības formula:

Varbūtības formula savstarpēji atkarīgiem notikumiem:

Ja notikumi A Un IN ir pretrunīgi, tad to sakritība ir neiespējams gadījums un tādējādi P(AB) = 0. Ceturtā nesaderīgu notikumu varbūtības formula ir šāda:

3. piemērs Autosacīkstēs, braucot ar pirmo mašīnu, uzvaras iespējamība, braucot ar otro mašīnu. Atrast:

• varbūtība, ka uzvarēs abas automašīnas;
• varbūtība, ka uzvarēs vismaz viena automašīna;

1) Varbūtība, ka uzvarēs pirmā automašīna, nav atkarīga no otrās mašīnas rezultāta, tāpēc notikumi A(uzvar pirmā automašīna) un IN(uzvar otrā mašīna) - neatkarīgi notikumi. Atrodiet varbūtību, ka uzvarēs abas automašīnas:

2) Atrodiet varbūtību, ka viena no divām automašīnām uzvarēs:

Sarežģītāki uzdevumi, kuros jāpiemēro gan varbūtību saskaitīšana, gan reizināšana - lapā "Dažādi uzdevumi varbūtību saskaitīšanai un reizināšanai" .

Pats atrisiniet varbūtību pievienošanas problēmu un pēc tam apskatiet risinājumu

4. piemērs Tiek izmestas divas monētas. Pasākums A- ģerboņa zudums uz pirmās monētas. Pasākums B- otrās monētas ģerboņa zudums. Atrodiet notikuma iespējamību C = A + B .

Varbūtību reizināšana

Varbūtību reizināšanu izmanto, ja jāaprēķina notikumu loģiskā reizinājuma varbūtība.

Šajā gadījumā nejaušiem notikumiem jābūt neatkarīgiem. Tiek uzskatīts, ka divi notikumi ir savstarpēji neatkarīgi, ja viena notikuma iestāšanās neietekmē otrā notikuma iestāšanās iespējamību.

Varbūtības reizināšanas teorēma neatkarīgiem notikumiem. Divu neatkarīgu notikumu vienlaicīgas iestāšanās varbūtība A Un IN ir vienāds ar šo notikumu varbūtību reizinājumu un tiek aprēķināts pēc formulas:

5. piemērs Monēta tiek izmesta trīs reizes pēc kārtas. Atrodiet varbūtību, ka ģerbonis visas trīs reizes izkritīs.

Risinājums. Varbūtība, ka ģerbonis uzkritīs monētas pirmajā mešanā, otrajā un trešajā reizē. Atrodiet varbūtību, ka ģerbonis visas trīs reizes izkritīs:

Pats atrisiniet problēmas ar varbūtību reizināšanu un pēc tam apskatiet risinājumu

6. piemērs Ir kaste ar deviņām jaunām tenisa bumbiņām. Spēlei tiek paņemtas trīs bumbas, pēc spēles tās tiek atdotas. Izvēloties bumbas, viņi neatšķir izspēlētās un neizspēlētās bumbas. Kāda ir iespējamība, ka pēc trim spēlēm kastē nebūs nevienas neizspēlētas bumbas?

7. piemērs Uz izgrieztām alfabēta kartītēm ir uzrakstīti 32 krievu alfabēta burti. Pēc nejaušības principa vienu pēc otras tiek izvilktas piecas kārtis un novietotas uz galda tādā secībā, kādā tās parādās. Atrodiet varbūtību, ka burti veidos vārdu "beigas".

8. piemērs No pilna kāršu klāsta (52 loksnes) uzreiz tiek izņemtas četras kārtis. Atrodiet varbūtību, ka visas četras šīs kārtis ir vienādas.

9. piemērs Tāda pati problēma kā 8. piemērā, taču katra kārts pēc izvilkšanas tiek atgriezta klājā.

Sarežģītāki uzdevumi, kuros jāpiemēro gan varbūtību saskaitīšana, gan reizināšana, kā arī jāaprēķina vairāku notikumu reizinājums - lapā "Dažādi uzdevumi varbūtību saskaitīšanai un reizināšanai" .

Varbūtību, ka notiks vismaz viens no savstarpēji neatkarīgiem notikumiem, var aprēķināt, no 1 atņemot pretēju notikumu varbūtību reizinājumu, tas ir, pēc formulas.

USE uzdevumos matemātikā ir arī sarežģītāki varbūtības uzdevumi (nekā mēs aplūkojām 1. daļā), kur jāpiemēro saskaitīšanas, varbūtību reizināšanas noteikums un jānošķir kopīgi un nesaderīgi notikumi.

Tātad, teorija.

Kopīgi un nekopīgi pasākumi

Notikumi tiek uzskatīti par nesavienojamiem, ja viens no tiem izslēdz citu rašanos. Tas ir, var notikt tikai viens konkrēts notikums vai cits.

Piemēram, metot kauliņu, jūs varat atšķirt tādus notikumus kā pāra punktu skaits un nepāra punktu skaits. Šie notikumi nav savienojami.

Notikumi tiek saukti par kopīgiem, ja viena no tiem iestāšanās neizslēdz otra rašanos.

Piemēram, metot kauliņu, jūs varat atšķirt tādus notikumus kā nepāra punktu skaita rašanās un tādu punktu skaita zaudēšana, kas ir trīs reizes. Kad tiek izripināti trīs, tiek realizēti abi notikumi.

Notikumu summa

Vairāku notikumu summa (vai kopība) ir notikums, kas sastāv no vismaz viena no šiem notikumiem.

Kurā divu nesaistītu notikumu summa ir šo notikumu varbūtību summa:

Piemēram, varbūtība iegūt 5 vai 6 punktus uz kauliņa vienā metienā būs tādēļ, ka abi notikumi (5. kritiens, 6. metiens) ir nesaderīgi un viena vai otrā notikuma iespējamība tiek aprēķināta šādi:

Varbūtība divu kopīgu pasākumu summa ir vienāds ar šo notikumu varbūtību summu, neņemot vērā to kopīgo rašanos:

Piemēram, iepirkšanās centrā divi identiski tirdzniecības automāti pārdod kafiju. Varbūtība, ka kafijas automātā beigsies kafija līdz dienas beigām, ir 0,3. Varbūtība, ka abos automātos beigsies kafija, ir 0,12. Noskaidrosim varbūtību, ka līdz dienas beigām kafija beigsies vismaz vienā no automātiem (tas ir, vai nu vienā, vai otrā, vai abos uzreiz).

Pirmā notikuma iespējamība "kafija beigsies pirmajā automātā", kā arī otrā notikuma iespējamība "kafija beigsies otrajā automātā" ar nosacījumu ir vienāda ar 0,3. Pasākumi notiek sadarbībā.

Pirmo divu notikumu kopīgas realizācijas varbūtība ir vienāda ar 0,12 atbilstoši nosacījumam.

Tas nozīmē, ka varbūtība, ka dienas beigās kafija beigsies vismaz vienā no automātiem, ir

Atkarīgi un neatkarīgi notikumi

Divus nejaušus notikumus A un B sauc par neatkarīgiem, ja viena no tiem iestāšanās nemaina otra rašanās iespējamību. Pretējā gadījumā notikumus A un B sauc par atkarīgiem.

Piemēram, ja vienlaikus tiek mests divi kauliņi, viens no tiem, piemēram, 1, bet otrs 5, ir neatkarīgi notikumi.

Varbūtību reizinājums

Vairāku notikumu produkts (vai krustojums) ir notikums, kas sastāv no visu šo notikumu kopīgas norises.

Ja ir divi neatkarīgi notikumi A un B ar varbūtībām P(A) un P(B) attiecīgi, tad notikumu A un B realizācijas varbūtība vienlaikus ir vienāda ar varbūtību reizinājumu:

Piemēram, mūs interesē sešnieka zaudējums uz kauliņa divas reizes pēc kārtas. Abi notikumi ir neatkarīgi, un varbūtība, ka katrs no tiem notiks atsevišķi, ir . Varbūtība, ka notiks abi šie notikumi, tiks aprēķināta, izmantojot iepriekš minēto formulu: .

Skatiet uzdevumu izlasi tēmas izstrādei.