Teória pravdepodobnosti. Pravdepodobnosť udalosti, náhodné udalosti (teória pravdepodobnosti)
Klasická definícia pravdepodobnosti.
Pravdepodobnosť udalosti je kvantitatívna miera, ktorá sa zavádza na porovnanie udalostí podľa stupňa možnosti ich výskytu.
Udalosť, ktorá môže byť reprezentovaná ako súbor (súčet) niekoľkých elementárnych udalostí, sa nazýva kompozit.
Udalosť, ktorá sa nedá rozdeliť na jednoduchšie, sa nazýva elementárna.
Udalosť sa nazýva nemožná, ak za podmienok daného experimentu (testu) nikdy nenastane.
Isté a nemožné udalosti nie sú náhodné.
Spoločné akcie– viaceré udalosti sa nazývajú spoločné, ak v dôsledku experimentu výskyt jednej z nich nevylučuje výskyt ďalších.
Nekompatibilné udalosti– viaceré udalosti sa v danom experimente nazývajú nekompatibilnými, ak výskyt jednej z nich vylučuje výskyt iných. Dve udalosti sa nazývajú opak, ak jedna z nich nastane vtedy a len vtedy, ak druhá nenastane.
Pravdepodobnosť udalosti A je P(A) – sa nazýva pomer čísel m elementárne udalosti (výsledky) priaznivé pre vznik udalosti A, na číslo n všetkých elementárnych dejov za podmienok daného pravdepodobnostného experimentu.
Z definície vyplývajú tieto vlastnosti pravdepodobnosti:
1. Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je kladné číslo medzi 0 a 1:
(2)
2. Pravdepodobnosť určitej udalosti je 1: (3)
3. Ak je udalosť nemožná, potom sa jej pravdepodobnosť rovná
(4)
4. Ak sú udalosti nekompatibilné, potom
5. Ak sú udalosti A a B spoločné, potom sa pravdepodobnosť ich súčtu rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí bez pravdepodobnosti ich spoločného výskytu:
P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)(6)
6. Ak a sú opačné udalosti, potom 
(7)
7. Súčet pravdepodobností udalostí A 1, A 2, …, A n, ktorý tvorí úplnú skupinu, sa rovná 1:
P(A1) + P(A2) + ...+ P(An) = 1.(8)
V ekonomických štúdiách sa hodnoty a vo vzorci môžu interpretovať odlišne. O štatistická definícia Pravdepodobnosť udalosti je počet pozorovaní výsledkov experimentu, v ktorých sa udalosť vyskytla práve raz. V tomto prípade sa vzťah nazýva relatívna frekvencia (frekvencia) udalosti
Diania A, B sa volajú nezávislý, ak pravdepodobnosť každého z nich nezávisí od toho, či došlo k inej udalosti alebo nie. Pravdepodobnosti nezávislých udalostí sú tzv bezpodmienečné.
Diania A, B sa volajú závislý, ak pravdepodobnosť každého z nich závisí od toho, či došlo k inej udalosti alebo nie. Zavolá sa pravdepodobnosť udalosti B vypočítaná za predpokladu, že iná udalosť A už nastala podmienená pravdepodobnosť.
Ak sú dve udalosti A a B nezávislé, potom platí rovnosť:
P(B) = P(B/A), P(A) = P(A/B) alebo P(B/A) – P(B) = 0(9)
Pravdepodobnosť súčinu dvoch závislých udalostí A, B sa rovná súčinu pravdepodobnosti jedného z nich a podmienenej pravdepodobnosti druhého:
P(AB) = P(B) ∙ P(A/B) alebo P(AB) = P(A) ∙ P(B/A) (10)
Pravdepodobnosť udalosti B vzhľadom na výskyt udalosti A:
(11)
Pravdepodobnosť súčinu dvoch nezávislý udalosti A, B sa rovná súčinu ich pravdepodobností:
P(AB) = P(A) ∙ P(B)(12)
Ak je niekoľko udalostí párovo nezávislých, neznamená to, že sú nezávislé v súhrne.
Diania A 1, A 2, ..., A n (n>2) sa nazývajú nezávislé v súhrne, ak pravdepodobnosť každého z nich nezávisí od toho, či sa niektorá z ostatných udalostí vyskytla alebo nie.
Pravdepodobnosť spoločného výskytu niekoľkých udalostí, ktoré sú v súhrne nezávislé, sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí:
P(A 1 ∙A 2 ∙A 3 ∙…∙A n) = P(A 1)∙P(A 2)∙P(A 3)∙…∙P(A n). (13)
Ak, keď nastane udalosť, pravdepodobnosť udalosti 
nezmení, potom udalosti 
A 
sa volajú nezávislý.
Veta:Pravdepodobnosť spoločného výskytu dvoch nezávislých udalostí 
A 
(Tvorba 
A 
) sa rovná súčinu pravdepodobnosti týchto udalostí.
Skutočne, odvtedy
diania 
A 
sú teda nezávislé 
. V tomto prípade je vzorec pre pravdepodobnosť výskytu udalostí 
A 
nadobudne podobu.
Diania 
sa volajú párovo nezávislé, ak sú ktorékoľvek dve z nich nezávislé.
Diania 
sa volajú spoločne nezávislé (alebo jednoducho nezávislé), ak sú každé dve nezávislé a každá udalosť a všetky možné produkty ostatných sú nezávislé.
Veta:Pravdepodobnosť súčinu konečného počtu nezávisle nezávislých udalostí
sa rovná súčinu pravdepodobnosti týchto udalostí.
Ilustrujme rozdiel v aplikácii vzorcov pre pravdepodobnosť súčinu udalostí pre závislé a nezávislé udalosti na príkladoch
Príklad 1. Pravdepodobnosť, že prvý strelec zasiahne cieľ je 0,85, druhý 0,8. Zbrane vystrelili po jednej. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň jeden granát zasiahne cieľ?
Riešenie: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Keďže zábery sú nezávislé, potom
P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0,97
Príklad 2. Urna obsahuje 2 červené a 4 čierne gule. Vyberú sa z nej 2 loptičky za sebou. Aká je pravdepodobnosť, že obe loptičky sú červené?
Riešenie: 1 prípad. Udalosť A je výskyt červenej gule pri prvom ťahu, udalosť B pri druhom. Udalosť C – objavenie sa dvoch červených loptičiek.
P(C) = P(A)*P(B/A) = (2/6)*(1/5) = 1/15
Prípad 2 Prvá vyžrebovaná lopta sa vráti do koša
P(C) = P(A)*P(B) = (2/6)*(2/6) = 1/9
Vzorec celkovej pravdepodobnosti.
Nechajte udalosť 
sa môže stať iba pri jednej z nekompatibilných udalostí
, tvoriaci ucelenú skupinu. Napríklad obchod dostáva rovnaké produkty od troch podnikov a v rôznych množstvách. Pravdepodobnosť výroby nekvalitných výrobkov v týchto podnikoch sa líši. Jeden z produktov je vybraný náhodne. Je potrebné určiť pravdepodobnosť, že tento výrobok má nízku kvalitu (príp 
). Udalosti tu
– ide o výber produktu z produktov príslušného podniku.
V tomto prípade pravdepodobnosť udalosti 
možno považovať za súčet súčinov udalostí 
.
Použitím vety o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných udalostí získame 
. Pomocou vety o násobení pravdepodobnosti nájdeme
.
Výsledný vzorec sa nazýva vzorec celkovej pravdepodobnosti.
Bayesov vzorec
Nechajte udalosť 
sa vyskytuje súčasne s jedným z 
nezlučiteľné udalosti
, ktorých pravdepodobnosti 
(
) sú známe pred experimentom ( apriórne pravdepodobnosti). Uskutoční sa experiment, v dôsledku ktorého sa zaregistruje výskyt udalosti 
a je známe, že táto udalosť mala určité podmienené pravdepodobnosti 
(
). Musíme nájsť pravdepodobnosti udalostí 
ak je známe, že udalosť 
Stalo ( a posteriori pravdepodobnosti).
Problém je, že keď máme nové informácie (vyskytla sa udalosť A), musíme prehodnotiť pravdepodobnosti udalostí
.
Na základe vety o pravdepodobnosti súčinu dvoch udalostí
.
Výsledný vzorec sa nazýva Bayesove vzorce.
Základné pojmy kombinatoriky.
Pri riešení množstva teoretických a praktických úloh je potrebné vytvárať z konečnej množiny prvkov rôzne kombinácie podľa daných pravidiel a spočítať počet všetkých možných takýchto kombinácií. Takéto úlohy sa zvyčajne nazývajú kombinatorický.
Pri riešení úloh používajú kombinatori pravidlá súčtu a súčinu.
Závislosť udalostí sa chápe v pravdepodobnostný zmysel, nefunkčné. To znamená, že na základe výskytu jednej zo závislých udalostí nemožno jednoznačne posúdiť výskyt ďalšej. Pravdepodobná závislosť znamená, že výskyt jednej zo závislých udalostí mení iba pravdepodobnosť výskytu druhej. Ak sa pravdepodobnosť nezmení, udalosti sa považujú za nezávislé.
Definícia: Nech je ľubovoľný pravdepodobnostný priestor a nech sú nejaké náhodné udalosti. To hovoria udalosť A nezávisí od udalosti IN , ak sa jej podmienená pravdepodobnosť zhoduje s nepodmienenou pravdepodobnosťou:
.
Ak 
, potom hovoria, že udalosť A závisí od udalosti IN.
Pojem nezávislosti je symetrický, teda ak ide o udalosť A nezávisí od udalosti IN, potom udalosť IN nezávisí od udalosti A. Skutočne, nech . Potom 
. Preto jednoducho hovoria, že udalosti A A IN nezávislý.
Nasledujúca symetrická definícia nezávislosti udalostí vyplýva z pravidla násobenia pravdepodobností.
Definícia: Diania A A IN, definované na rovnakom pravdepodobnostnom priestore sa nazývajú nezávislý, Ak
Ak , potom udalosti A A IN sa volajú závislý.
Upozorňujeme, že táto definícia platí aj v prípade, keď alebo .
Vlastnosti nezávislých udalostí.
1. Ak udalosti A A IN sú nezávislé, potom sú nezávislé aj tieto dvojice udalostí: .
▲ Dokážme napríklad nezávislosť udalostí. Predstavme si udalosť A ako: . Keďže udalosti sú nekompatibilné, potom , a vzhľadom na nezávislosť udalostí A A IN dostaneme to. Toto znamená nezávislosť. ■
2. Ak udalosť A nezávisí od udalostí V 1 A AT 2, ktoré sú nekonzistentné () , tej udalosti A nezávisí od sumy.
▲ V skutočnosti pomocou axiómy aditivity pravdepodobnosti a nezávislosti udalosti A z udalostí V 1 A AT 2, máme:
Vzťah medzi pojmami nezávislosti a nezlučiteľnosti.
Nechaj A A IN- všetky udalosti, ktoré majú nenulovú pravdepodobnosť: , tak 
. Ak udalosti A A IN sú nekonzistentné (), potom k rovnosti nikdy nemôže dôjsť. teda nekompatibilné udalosti sú závislé.
Keď sa súčasne zvažujú viac ako dve udalosti, ich párová nezávislosť dostatočne necharakterizuje vzťah medzi udalosťami celej skupiny. V tomto prípade sa zavádza pojem nezávislosti v súhrne.
Definícia: Vyvolajú sa udalosti definované na rovnakom pravdepodobnostnom priestore kolektívne nezávislý, ak k nejakému 2 £ m £ n a pri akejkoľvek kombinácii indexov platí rovnosť:
O m = 2 Z nezávislosti v súhrne vyplýva párová nezávislosť udalostí. Opak nie je pravdou.
Príklad. (Bernstein S.N.)
Náhodný experiment zahŕňa hádzanie pravidelného štvorstenu (tetrahedron). Pozoruje sa tvár, ktorá spadla. Plochy štvorstenu sú sfarbené nasledovne: 1. strana - biela, 2. strana - čierna,
3. strana je červená, 4. strana obsahuje všetky farby.
Pozrime sa na udalosti:
A= (biely výpadok); B= (čierne vypadnutie);
C= (Červená kvapka).
Potom 
;
Preto udalosti A, IN A S sú párovo nezávislé.
však 
.
Preto udalosti A, IN A S nie sú kolektívne nezávislé.
V praxi sa spravidla nezávislosť udalostí nestanovuje kontrolou podľa definície, ale naopak: udalosti sa považujú za nezávislé od niektorých vonkajších hľadísk alebo s prihliadnutím na okolnosti náhodného experimentu a nezávislosť sa používa na zistenie pravdepodobnosť výskytu udalostí.
Veta (násobenie pravdepodobností pre nezávislé udalosti).
Ak sú udalosti definované v rovnakom pravdepodobnostnom priestore súhrnne nezávislé, potom sa pravdepodobnosť ich súčinu rovná súčinu pravdepodobností:
▲ Dôkaz vety vyplýva z definície nezávislosti udalostí v súhrne alebo zo všeobecnej vety o násobení pravdepodobností, berúc do úvahy skutočnosť, že v tomto prípade
Príklad 1 (typický príklad na hľadanie podmienených pravdepodobností, pojem nezávislosti, veta o sčítaní pravdepodobností).
Elektrický obvod pozostáva z troch nezávisle fungujúcich prvkov. Pravdepodobnosti zlyhania každého z prvkov sú v tomto poradí rovnaké.
1) Nájdite pravdepodobnosť zlyhania obvodu.
2) Je známe, že obvod zlyhal.
Aká je pravdepodobnosť, že odmietol:
a) 1. prvok; b) 3. prvok?
Riešenie. Zvážte udalosti = (Odmietnuté k prvok) a udalosť A= (Okruh zlyhal). Potom udalosť A sa prezentuje ako:
.
1) Keďže udalosti nie sú nezlučiteľné, axióma aditivity pravdepodobnosti P3) nie je použiteľná a na nájdenie pravdepodobnosti treba použiť všeobecnú vetu o sčítaní pravdepodobností, podľa ktorej
Všeobecné vyjadrenie problému: pravdepodobnosti niektorých udalostí sú známe a musíte vypočítať pravdepodobnosti iných udalostí, ktoré sú s týmito udalosťami spojené. Pri týchto problémoch sú potrebné operácie s pravdepodobnosťami, ako je sčítanie a násobenie pravdepodobností.
Napríklad pri love padnú dva výstrely. Udalosť A- zasiahnutie kačice prvým výstrelom, event B- zásah z druhého výstrelu. Potom súčet udalostí A A B- zásah prvým alebo druhým výstrelom alebo dvoma výstrelmi.
Problémy iného typu. Uvádza sa niekoľko udalostí, napríklad trikrát sa hodí minca. Musíte nájsť pravdepodobnosť, že buď sa erb objaví všetky tri razy, alebo že sa erb objaví aspoň raz. Toto je problém násobenia pravdepodobnosti.
Sčítanie pravdepodobností nezlučiteľných udalostí
Sčítanie pravdepodobností sa používa, keď potrebujete vypočítať pravdepodobnosť kombinácie alebo logického súčtu náhodných udalostí.
Súčet udalostí A A B označovať A + B alebo A ∪ B. Súčet dvoch udalostí je udalosť, ktorá nastane vtedy a len vtedy, ak nastane aspoň jedna z udalostí. Znamená to, že A + B- udalosť, ktorá nastane vtedy a len vtedy, ak udalosť nastala počas pozorovania A alebo udalosť B alebo súčasne A A B.
Ak udalosti A A B sú vzájomne nekonzistentné a sú uvedené ich pravdepodobnosti, potom sa pravdepodobnosť, že jedna z týchto udalostí nastane ako výsledok jedného pokusu, vypočíta pomocou súčtu pravdepodobností.
Pravdepodobný teorém sčítania. Pravdepodobnosť, že nastane jedna z dvoch vzájomne nekompatibilných udalostí, sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:
Napríklad pri love padnú dva výstrely. Udalosť A– zasiahnutie kačice prvým výstrelom, event IN– zásah z druhého výstrelu, udalosť ( A+ IN) – zásah z prvého alebo druhého výstrelu alebo z dvoch výstrelov. Ak teda dve udalosti A A IN– potom nezlučiteľné udalosti A+ IN– výskyt aspoň jednej z týchto udalostí alebo dvoch udalostí.
Príklad 1 V krabici je 30 guličiek rovnakej veľkosti: 10 červených, 5 modrých a 15 bielych. Vypočítajte pravdepodobnosť, že farebnú (nie bielu) loptičku zdvihnete bez toho, aby ste sa pozreli.
Riešenie. Predpokladajme, že udalosť A- „dostane sa červená guľa“ a udalosť IN- "Modrá guľa bola prijatá." Potom je udalosťou „zoberie sa farebná (nie biela) guľa“. Poďme zistiť pravdepodobnosť udalosti A:
a udalosti IN:
Diania A A IN- vzájomne nekompatibilné, pretože ak sa berie jedna loptička, nie je možné brať loptičky rôznych farieb. Preto používame sčítanie pravdepodobností:
Veta o sčítaní pravdepodobností pre niekoľko nekompatibilných udalostí. Ak udalosti tvoria úplný súbor udalostí, potom sa súčet ich pravdepodobností rovná 1:
Súčet pravdepodobností opačných udalostí sa tiež rovná 1:
Opačné udalosti tvoria úplný súbor udalostí a pravdepodobnosť úplného súboru udalostí je 1.
Pravdepodobnosti opačných udalostí sú zvyčajne označené malými písmenami p A q. najmä
z ktorých vyplývajú tieto vzorce pre pravdepodobnosť opačných udalostí:
Príklad 2 Terč v strelnici je rozdelený do 3 zón. Pravdepodobnosť, že určitý strelec vystrelí na terč v prvom pásme je 0,15, v druhom pásme – 0,23, v treťom pásme – 0,17. Nájdite pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ a pravdepodobnosť, že strelec cieľ minie.
Riešenie: Nájdite pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ:
Nájdite pravdepodobnosť, že strelec minie cieľ:
Zložitejšie úlohy, v ktorých je potrebné použiť sčítanie aj násobenie pravdepodobností, nájdete na stránke „Rôzne úlohy so sčítaním a násobením pravdepodobností“.
Sčítanie pravdepodobností vzájomne simultánnych udalostí
Dve náhodné udalosti sa nazývajú spoločné, ak výskyt jednej udalosti nevylučuje výskyt druhej udalosti v tom istom pozorovaní. Napríklad pri hode kockou udalosť AČíslo 4 sa považuje za zavedené a udalosť IN– hádzanie párneho čísla. Keďže 4 je párne číslo, tieto dve udalosti sú kompatibilné. V praxi sa vyskytujú problémy s výpočtom pravdepodobnosti výskytu niektorej zo súčasne prebiehajúcich udalostí.
Pravdepodobná veta sčítania pre spoločné udalosti. Pravdepodobnosť, že nastane jedna zo spoločných udalostí, sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí, od ktorých sa odpočíta pravdepodobnosť spoločného výskytu oboch udalostí, teda súčin pravdepodobností. Vzorec pravdepodobnosti spoločných udalostí má nasledujúci tvar:
Od udalostí A A IN kompatibilný, event A+ IN nastane, ak nastane jedna z troch možných udalostí: alebo AB. Podľa vety o sčítaní nezlučiteľných udalostí vypočítame takto:
Udalosť A nastane, ak dôjde k jednej z dvoch nezlučiteľných udalostí: alebo AB. Pravdepodobnosť výskytu jednej udalosti z niekoľkých nezlučiteľných udalostí sa však rovná súčtu pravdepodobností všetkých týchto udalostí:
Podobne:
Nahradením výrazov (6) a (7) výrazom (5) dostaneme vzorec pravdepodobnosti pre spoločné udalosti:
Pri použití vzorca (8) treba vziať do úvahy, že event A A IN môže byť:
- vzájomne nezávislé;
- vzájomne závislé.
Vzorec pravdepodobnosti pre vzájomne nezávislé udalosti:
Vzorec pravdepodobnosti pre vzájomne závislé udalosti:
Ak udalosti A A IN sú nekonzistentné, potom je ich zhoda nemožným prípadom, a teda P(AB) = 0. Štvrtý vzorec pravdepodobnosti pre nekompatibilné udalosti je:
Príklad 3 V automobilových pretekoch, keď riadite prvé auto, máte väčšiu šancu vyhrať a keď riadite druhé auto. Nájsť:
- pravdepodobnosť, že obe autá vyhrajú;
- pravdepodobnosť, že vyhrá aspoň jedno auto;
1) Pravdepodobnosť, že prvé auto vyhrá, nezávisí od výsledku druhého auta, teda udalostí A(vyhráva prvé auto) a IN(vyhrá druhé auto) – nezávislé podujatia. Nájdite pravdepodobnosť, že obe autá vyhrajú:
2) Nájdite pravdepodobnosť, že jedno z dvoch áut vyhrá:
Zložitejšie úlohy, v ktorých je potrebné použiť sčítanie aj násobenie pravdepodobností, nájdete na stránke „Rôzne úlohy so sčítaním a násobením pravdepodobností“.
Vyriešte problém pridania pravdepodobností sami a potom sa pozrite na riešenie
Príklad 4. Hodia sa dve mince. Udalosť A- strata erbu na prvej minci. Udalosť B- strata erbu na druhej minci. Nájdite pravdepodobnosť udalosti C = A + B .
Násobenie pravdepodobností
Násobenie pravdepodobnosti sa používa, keď sa musí vypočítať pravdepodobnosť logického súčinu udalostí.
V tomto prípade musia byť náhodné udalosti nezávislé. O dvoch udalostiach sa hovorí, že sú navzájom nezávislé, ak výskyt jednej udalosti neovplyvňuje pravdepodobnosť výskytu druhej udalosti.
Veta o násobení pravdepodobnosti pre nezávislé udalosti. Pravdepodobnosť súčasného výskytu dvoch nezávislých udalostí A A IN sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí a vypočíta sa podľa vzorca:
Príklad 5. Minca sa hodí trikrát za sebou. Nájdite pravdepodobnosť, že sa erb objaví všetky trikrát.
Riešenie. Pravdepodobnosť, že sa erb objaví pri prvom hode mincou, druhýkrát a tretíkrát. Nájdite pravdepodobnosť, že sa erb objaví trikrát:
Vyriešte problémy s násobením pravdepodobnosti sami a potom sa pozrite na riešenie
Príklad 6. V krabici je deväť nových tenisových loptičiek. Na hranie sa odoberú tri loptičky a po hre sa vrátia späť. Pri výbere lôpt sa nerozlišujú odohrané lopty od neodohraných. Aká je pravdepodobnosť, že po troch hrách nezostanú v krabici žiadne neodohrané loptičky?
Príklad 7. Na vystrihnutých kartách abecedy je napísaných 32 písmen ruskej abecedy. Náhodne sa vytiahne päť kariet za sebou a umiestnia sa na stôl v poradí podľa vzhľadu. Nájdite pravdepodobnosť, že písmená vytvoria slovo „koniec“.
Príklad 8. Z plného balíčka kariet (52 listov) sa naraz vyberú štyri karty. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky štyri tieto karty budú rôznych farieb.
Príklad 9. Rovnaká úloha ako v príklade 8, ale každá karta sa po odstránení vráti do balíčka.
Zložitejšie úlohy, v ktorých je potrebné použiť sčítanie a násobenie pravdepodobností, ako aj vypočítať súčin viacerých udalostí, nájdete na stránke "Rôzne úlohy so sčítaním a násobením pravdepodobností".
Pravdepodobnosť, že nastane aspoň jedna zo vzájomne nezávislých udalostí, sa dá vypočítať tak, že od 1 sa odpočíta súčin pravdepodobnosti opačných udalostí, teda pomocou vzorca.
V úlohách Jednotnej štátnej skúšky z matematiky sú aj zložitejšie pravdepodobnostné úlohy (ako sme uvažovali v 1. časti), kde musíme aplikovať pravidlo sčítania, násobenia pravdepodobností a rozlišovať kompatibilné a nezlučiteľné udalosti.
Takže teória.
Spoločné a nesúrodé akcie
Udalosti sa nazývajú nekompatibilné, ak výskyt jednej z nich vylučuje výskyt iných. To znamená, že sa môže stať len jedna alebo druhá konkrétna udalosť.
Napríklad pri hádzaní kockou môžete rozlišovať medzi udalosťami, ako je získanie párneho počtu bodov a získanie nepárneho počtu bodov. Tieto udalosti sú nezlučiteľné.
Udalosti sa nazývajú spoločné, ak výskyt jednej z nich nevylučuje výskyt druhej.
Napríklad pri hádzaní kockou môžete rozlíšiť také udalosti, ako je hod nepárnym počtom bodov a hod počtom bodov, ktorý je násobkom troch. Keď padne trojka, nastanú obe udalosti.
Súčet udalostí
Súčet (alebo kombinácia) viacerých udalostí je udalosť pozostávajúca z výskytu aspoň jednej z týchto udalostí.
V čom súčet dvoch nezlučiteľných udalostí je súčet pravdepodobností týchto udalostí:
Napríklad pravdepodobnosť získania 5 alebo 6 bodov na kocke jedným hodom bude , pretože obe udalosti (hod 5, hod 6) sú nekonzistentné a pravdepodobnosť výskytu jednej alebo druhej udalosti sa vypočíta takto:
Pravdepodobnosť súčet dvoch spoločných podujatí rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí bez zohľadnenia ich spoločného výskytu:
Napríklad v nákupnom centre predávajú kávu dva rovnaké automaty. Pravdepodobnosť, že sa v automate minie káva do konca dňa, je 0,3. Pravdepodobnosť, že obom strojom dôjde káva, je 0,12. Nájdite pravdepodobnosť, že do konca dňa sa káva minie aspoň v jednom z automatov (teda buď v jednom, alebo druhom, alebo oboch naraz).
Pravdepodobnosť prvej udalosti „dojde káva v prvom automate“ ako aj pravdepodobnosť druhej udalosti „dojde káva v druhom automate“ podľa podmienky je 0,3. Udalosti sú založené na spolupráci.
Pravdepodobnosť spoločného výskytu prvých dvoch udalostí podľa podmienky je 0,12.
To znamená, že pravdepodobnosť, že sa káva do konca dňa minie aspoň v jednom z automatov, je
Závislé a nezávislé udalosti
Dve náhodné udalosti A a B sa nazývajú nezávislé, ak výskyt jednej z nich nemení pravdepodobnosť výskytu druhej. Inak sa udalosti A a B nazývajú závislé.
Napríklad, keď sú súčasne hodené dve kocky, jedna z nich, povedzme 1, a druhá, 5, sú nezávislé udalosti.
Súčin pravdepodobností
Produktom (alebo priesečníkom) viacerých udalostí je udalosť pozostávajúca zo spoločného výskytu všetkých týchto udalostí.
Ak sa vyskytnú dve nezávislé udalosti A a B s pravdepodobnosťami P(A) a P(B), potom sa pravdepodobnosť výskytu udalostí A a B v rovnakom čase rovná súčinu pravdepodobností:
Napríklad nás zaujíma, ako sa na kocke dvakrát za sebou objaví šestka. Obe udalosti sú nezávislé a pravdepodobnosť, že každá z nich nastane samostatne, je . Pravdepodobnosť, že nastanú obe tieto udalosti, sa vypočíta pomocou vyššie uvedeného vzorca: .
Pozrite si výber úloh na precvičenie témy.
