Tikimybių teorija. Įvykio tikimybė, atsitiktiniai įvykiai (tikimybių teorija)

Klasikinis tikimybės apibrėžimas.

Įvykio tikimybė yra kiekybinis matas, įvedamas norint palyginti įvykius pagal jų atsiradimo tikimybės laipsnį.

Įvykis, kurį galima pavaizduoti kaip kelių elementarių įvykių rinkinį (sumą), vadinamas sudėtiniu.

Įvykis, kurio negalima suskaidyti į paprastesnius, vadinamas elementariu.

Įvykis vadinamas neįmanomu, jei jis niekada neįvyksta tam tikro eksperimento (testo) sąlygomis.

Tam tikri ir neįmanomi įvykiai nėra atsitiktiniai.

Bendri renginiai– keli įvykiai vadinami jungtiniais, jei dėl eksperimento įvykęs vienas iš jų neatmeta kitų.

Nesuderinami įvykiai– keli įvykiai yra vadinami nesuderinamais tam tikrame eksperimente, jei įvykus vienas iš jų neleidžia įvykti kitiems. Du įvykiai vadinami priešingas, jei vienas iš jų atsiranda tada ir tik tada, kai neįvyksta kitas.

Įvykio A tikimybė yra P(A) – vadinamas skaičių santykiu m elementarūs įvykiai (rezultatai), palankūs įvykiui įvykti A, prie numerio n visų elementarių įvykių tam tikro tikimybinio eksperimento sąlygomis.

Iš apibrėžimo išplaukia šios tikimybės savybės:

1. Atsitiktinio įvykio tikimybė yra teigiamas skaičius nuo 0 iki 1:

(2)

2. Tam tikro įvykio tikimybė yra 1: (3)

3. Jei įvykis neįmanomas, tai jo tikimybė lygi

(4)

4. Jei įvykiai nesuderinami, tada

5. Jeigu įvykiai A ir B yra jungtiniai, tai jų sumos tikimybė lygi šių įvykių tikimybių sumai be jų bendro atsiradimo tikimybės:

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)(6)

6. Jei ir yra priešingi įvykiai, tada (7)

7. Įvykio tikimybių suma A 1, A 2, …, A n, sudaro visą grupę, yra lygus 1:

P(A 1) + P(A 2) + …+ P(A n) = 1.(8)

Ekonomikos studijose reikšmės ir formulė gali būti interpretuojamos skirtingai. At statistinis apibrėžimasĮvykio tikimybė – tai eksperimentinių rezultatų stebėjimų skaičius, kai įvykis įvyko tiksliai vieną kartą. Šiuo atveju santykis vadinamas santykinis įvykio dažnis (dažnis).

Renginiai A, B yra vadinami nepriklausomas, jei kiekvieno iš jų tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvyko kitas įvykis, ar ne. Nepriklausomų įvykių tikimybės vadinamos besąlyginis.

Renginiai A, B yra vadinami priklausomas, jei kiekvieno iš jų tikimybė priklauso nuo to, ar įvyko kitas įvykis, ar ne. Įvykio B tikimybė, apskaičiuota darant prielaidą, kad jau įvyko kitas įvykis A, vadinama sąlyginė tikimybė.

Jei du įvykiai A ir B yra nepriklausomi, tada lygybės yra teisingos:

P(B) = P(B/A), P(A) = P(A/B) arba P(B/A) – P(B) = 0(9)

Dviejų priklausomų įvykių A, B sandaugos tikimybė yra lygi vieno iš jų tikimybės sandaugai su sąlygine kito tikimybe:

P(AB) = P(B) ∙ P(A/B) arba P(AB) = P(A) ∙ P(B/A) (10)

Įvykio B tikimybė, atsižvelgiant į įvykį A:

(11)

Dviejų sandaugos tikimybė nepriklausomasįvykiai A, B yra lygūs jų tikimybių sandaugai:

P(AB) = P(A) ∙ P(B)(12)

Jei keli įvykiai yra nepriklausomi poromis, tai nereiškia, kad jie yra nepriklausomi visumoje.

Renginiai A 1, A 2, ..., A n (n>2) yra vadinami nepriklausomais visumoje, jei kiekvieno iš jų tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvyko kuris nors kitas įvykis, ar ne.

Tikimybė, kad kartu įvyks keli įvykiai, kurie yra nepriklausomi visumoje, yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

P(A1∙A2∙A3∙…∙A n) = P(A 1)∙P(A 2)∙P(A 3)∙…∙P(A n). (13)

Jei įvykus įvykiui, įvykio tikimybė nesikeičia, tada įvykiai Ir yra vadinami nepriklausomas.

Teorema:Dviejų nepriklausomų įvykių kooperacijos tikimybė Ir (veikia Ir ) yra lygus šių įvykių tikimybių sandaugai.

Tiesa, nuo įvykius Ir tada yra nepriklausomi
. Šiuo atveju įvykių tikimybės formulė yra Ir įgauna formą.

Renginiai
yra vadinami poromis nepriklausomas, jei bet kurie du iš jų yra nepriklausomi.

Renginiai
yra vadinami kartu nepriklausomas (arba tiesiog nepriklausomas), jei kiekvienas iš jų yra nepriklausomas, o kiekvienas įvykis ir visi galimi kitų produktai yra nepriklausomi.

Teorema:Baigtinio skaičiaus nepriklausomai nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė
yra lygus šių įvykių tikimybių sandaugai.

Pavyzdžiais iliustruojame skirtumus taikant įvykių sandaugos tikimybės formules priklausomiems ir nepriklausomiems įvykiams

1 pavyzdys. Tikimybė, kad pirmasis šaulys pataikys į taikinį – 0,85, antrasis – 0,8. Ginklai paleido po vieną šūvį. Kokia tikimybė, kad bent vienas sviedinys pataikys į taikinį?

Sprendimas: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Kadangi kadrai yra nepriklausomi, tada

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0,97

2 pavyzdys. Urnoje yra 2 raudoni ir 4 juodi rutuliukai. Iš jo iš eilės išimami 2 rutuliukai. Kokia tikimybė, kad abu rutuliai yra raudoni?

Sprendimas: 1 atvejis. Įvykis A yra raudono rutulio pasirodymas per pirmąjį traukimą, įvykis B – antroje. C įvykis – dviejų raudonų kamuoliukų pasirodymas.

P(C) =P(A)*P(B/A) = (2/6)*(1/5) = 1/15

2 atvejis. Pirmasis ištrauktas kamuolys grąžinamas į krepšį

P(C) =P(A)*P(B) = (2/6)*(2/6) = 1/9

Bendrosios tikimybės formulė.

Tegul įvykis gali atsitikti tik su vienu iš nesuderinamų įvykių
, sudaro pilną grupę. Pavyzdžiui, parduotuvė gauna tuos pačius produktus iš trijų įmonių ir skirtingais kiekiais. Tikimybė, kad šiose įmonėse bus gaminami žemos kokybės produktai, skiriasi. Vienas iš prekių parenkamas atsitiktine tvarka. Būtina nustatyti tikimybę, kad šis produktas bus nekokybiškas (įvykis ). Renginiai čia
– tai prekės parinkimas iš atitinkamos įmonės produkcijos.

Šiuo atveju įvykio tikimybė galima laikyti įvykių sandaugų suma
.

Naudodami teoremą nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimui, gauname
. Naudodamiesi tikimybių daugybos teorema, randame

Gauta formulė vadinama bendrosios tikimybės formulė.

Bayes formulė

Tegul įvykis įvyksta kartu su vienu iš nesuderinami įvykiai
, kurių tikimybės
(
) yra žinomi prieš eksperimentą ( a priori tikimybės). Atliekamas eksperimentas, kurio rezultatas registruojamas įvykio įvykis , ir žinoma, kad šis įvykis turėjo tam tikrų sąlyginių tikimybių
(
). Turime rasti įvykių tikimybes
jei žinoma, kad įvykis įvyko ( a posteriori tikimybės).

Problema ta, kad turėdami naują informaciją (įvyko A įvykis), turime iš naujo įvertinti įvykių tikimybę
.

Remiantis teorema apie dviejų įvykių sandaugos tikimybę

Gauta formulė vadinama Bayes formulės.

Pagrindinės kombinatorikos sąvokos.

Sprendžiant daugybę teorinių ir praktinių uždavinių, iš baigtinės elementų aibės pagal pateiktas taisykles reikia sukurti įvairias kombinacijas ir suskaičiuoti visų galimų tokių kombinacijų skaičių. Tokios užduotys dažniausiai vadinamos kombinatorinis.

Spręsdami uždavinius kombinatoriai vadovaujasi sumos ir sandaugos taisyklėmis.

Įvykių priklausomybė suprantama tikimybinis prasmingas, nefunkcionalus. Tai reiškia, kad remiantis vieno iš priklausomų įvykių įvykimu negalima vienareikšmiškai spręsti apie kito įvykį. Tikimybinė priklausomybė reiškia, kad vieno iš priklausomų įvykių įvykimas tik pakeičia kito tikimybę. Jei tikimybė nesikeičia, įvykiai laikomi nepriklausomais.

Apibrėžimas: Tegul yra savavališka tikimybių erdvė ir kai kurie atsitiktiniai įvykiai. Jie taip sako įvykis A nepriklauso nuo įvykio IN , jei jos sąlyginė tikimybė sutampa su besąlygine tikimybe:

Jeigu , tada jie sako, kad įvykis A priklauso nuo įvykio IN.

Nepriklausomybės samprata yra simetriška, tai yra, jei įvykis A nepriklauso nuo įvykio IN, tada įvykis IN nepriklauso nuo įvykio A. Tikrai, tegul . Tada . Todėl jie tiesiog sako, kad įvykiai A Ir IN nepriklausomas.

Šis simetriškas įvykių nepriklausomumo apibrėžimas išplaukia iš tikimybių daugybos taisyklės.

Apibrėžimas: Įvykiai A Ir IN, apibrėžtos toje pačioje tikimybių erdvėje yra vadinamos nepriklausomas, Jei

Jeigu , tada įvykiai A Ir IN yra vadinami priklausomas.

Atkreipkite dėmesį, kad šis apibrėžimas galioja ir tuo atveju, kai arba .

Savarankiškų renginių savybės.

1. Jei įvykiai A Ir IN yra nepriklausomi, tada šios įvykių poros taip pat yra nepriklausomos: .

▲ Įrodykime, pavyzdžiui, įvykių nepriklausomumą. Įsivaizduokime įvykį A kaip: . Kadangi įvykiai yra nesuderinami, tada , ir dėl įvykių nepriklausomumo A Ir IN mes tai gauname. Štai ką reiškia nepriklausomybė. ■

2. Jei įvykis A nepriklauso nuo įvykių 1 Ir AT 2, kurios yra nenuoseklios () , tą įvykį A nepriklauso nuo sumos.

▲ Iš tiesų, naudojant įvykio tikimybės ir nepriklausomybės aksiomą A iš įvykių 1 Ir AT 2, mes turime:

Nepriklausomybės ir nesuderinamumo sąvokų santykis.

Leisti A Ir IN- bet kokie įvykiai, kurių tikimybė yra ne nulinė: , taigi . Jei įvykiai A Ir IN yra nenuoseklūs (), tada lygybė niekada negali įvykti. Taigi, nesuderinami įvykiai yra priklausomi.

Kai vienu metu nagrinėjami daugiau nei du įvykiai, jų porinis nepriklausomumas nepakankamai apibūdina santykį tarp visos grupės įvykių. Šiuo atveju įvedama savarankiškumo sąvoka visumoje.

Apibrėžimas: Iškviečiami įvykiai, apibrėžti toje pačioje tikimybių erdvėje kolektyviai nepriklausomi, jei kam 2 £ m £ n ir bet koks indeksų derinys lygybė yra teisinga:

At m = 2 Iš nepriklausomybės visumoje išplaukia porinė įvykių nepriklausomybė. Atvirkščiai netiesa.

Pavyzdys. (Bernstein S.N.)

Atsitiktinis eksperimentas apima taisyklingo tetraedro (tetraedro) metimą. Stebimas nukritęs veidas. Tetraedro veidai nudažyti taip: 1 veidas - baltas, 2 veidas - juodas,
3-ioji pusė raudona, 4-oje – visos spalvos.

Panagrinėkime įvykius:

A= (baltasis iškritimas); B= (juodasis iškritimas);

C= (Raudonas lašas).

Tada ;

Todėl įvykiai A, IN Ir SU yra poromis nepriklausomi.

Tačiau .

Todėl įvykiai A, IN Ir SU nėra kolektyviai nepriklausomi.

Praktikoje, kaip taisyklė, įvykių nepriklausomumas nustatomas ne jį tikrinant pagal apibrėžimą, o priešingai: įvykiai laikomi nepriklausomais nuo kokių nors išorinių sumetimų arba atsižvelgiant į atsitiktinio eksperimento aplinkybes, o nepriklausomumas naudojamas siekiant nustatyti. įvykių tikimybes.

Teorema (nepriklausomų įvykių tikimybių daugyba).

Jei toje pačioje tikimybių erdvėje apibrėžti įvykiai yra nepriklausomi visumoje, tada jų sandaugos tikimybė yra lygi tikimybių sandaugai:

▲ Teoremos įrodymas išplaukia iš įvykių nepriklausomybės apibrėžimo visumoje arba iš bendrosios tikimybių daugybos teoremos, atsižvelgiant į tai, kad šiuo atveju

1 pavyzdys (tipinis sąlyginių tikimybių radimo pavyzdys, nepriklausomumo samprata, tikimybių sudėjimo teorema).

Elektros grandinė susideda iš trijų nepriklausomai veikiančių elementų. Kiekvieno elemento gedimo tikimybė yra atitinkamai vienoda.

1) Raskite grandinės gedimo tikimybę.

2) Yra žinoma, kad grandinė sugedo.

Kokia tikimybė, kad jis atsisakė:

a) 1 elementas; b) 3 elementas?

Sprendimas. Apsvarstykite įvykius = (Atmesta k elementas) ir įvykis A= (Grandinė sugedo). Tada renginys A pateikiamas kaip:

1) Kadangi įvykiai nėra nesuderinami, tikimybės P3) adityvumo aksioma netaikytina ir tikimybei rasti reikia naudoti bendrąją tikimybių sudėjimo teoremą, pagal kurią

Bendras problemos teiginys: kai kurių įvykių tikimybės yra žinomos ir reikia apskaičiuoti kitų įvykių, susijusių su šiais įvykiais, tikimybes. Šiose problemose reikalingos operacijos su tikimybėmis, pvz., tikimybių sudėjimas ir dauginimas.

Pavyzdžiui, medžiojant paleidžiami du šūviai. Renginys A- pataikyti į antį pirmu šūviu, įvykis B- pataikė iš antro šūvio. Tada įvykių suma A Ir B- pataikyti pirmu ar antru šūviu arba dviem šūviais.

Kitokio tipo problemos. Pateikiami keli įvykiai, pavyzdžiui, moneta metama tris kartus. Reikia rasti tikimybę, kad arba herbas atsiras visus tris kartus, arba kad herbas atsiras bent kartą. Tai tikimybių dauginimo problema.

Nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimas

Tikimybių sudėjimas naudojamas, kai reikia apskaičiuoti atsitiktinių įvykių kombinacijos arba loginės sumos tikimybę.

Įvykių suma A Ir Bžymėti A + B arba A ∪ B. Dviejų įvykių suma yra įvykis, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvyksta bent vienas iš įvykių. Tai reiškia kad A + B– įvykis, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvykis įvyko stebėjimo metu A arba renginys B, arba vienu metu A Ir B.

Jei įvykiai A Ir B yra tarpusavyje nesuderinami ir pateikiamos jų tikimybės, tada tikimybė, kad vienas iš šių įvykių įvyks po vieno bandymo, apskaičiuojama pridedant tikimybes.

Tikimybių sudėjimo teorema. Tikimybė, kad įvyks vienas iš dviejų tarpusavyje nesuderinamų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai:

Pavyzdžiui, medžiojant paleidžiami du šūviai. Renginys A– pataikymas į antį pirmu šūviu, įvykis IN– pataikymas iš antro šūvio, įvykis ( A+ IN) – pataikymas iš pirmo ar antro šūvio arba iš dviejų šūvių. Taigi, jei du įvykiai A Ir IN– tada nesuderinami įvykiai A+ IN– bent vieno iš šių įvykių arba dviejų įvykių.

1 pavyzdys. Dėžutėje yra 30 vienodo dydžio kamuoliukų: 10 raudonų, 5 mėlynų ir 15 baltų. Apskaičiuokite tikimybę, kad nežiūrint bus paimtas spalvotas (ne baltas) rutulys.

Sprendimas. Tarkime, kad įvykis A- „raudonas kamuolys paimtas“ ir įvykis IN- „Mėlynas kamuolys buvo paimtas“. Tada įvykis yra „paimamas spalvotas (ne baltas) kamuolys“. Raskime įvykio tikimybę A:

ir įvykius IN:

Renginiai A Ir IN– tarpusavyje nesuderinama, nes paėmus vieną rutulį, tai neįmanoma paimti skirtingų spalvų kamuoliukų. Todėl naudojame tikimybių pridėjimą:

Kelių nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimo teorema. Jei įvykiai sudaro visą įvykių rinkinį, tada jų tikimybių suma lygi 1:

Priešingų įvykių tikimybių suma taip pat lygi 1:

Priešingi įvykiai sudaro visą įvykių rinkinį, o viso įvykių rinkinio tikimybė yra 1.

Priešingų įvykių tikimybės dažniausiai nurodomos mažomis raidėmis p Ir q. Visų pirma,

iš kurių išplaukia šios priešingų įvykių tikimybės formulės:

2 pavyzdys. Taikinys šaudykloje yra padalintas į 3 zonas. Tikimybė, kad tam tikras šaulys šaudys į taikinį pirmoje zonoje yra 0,15, antroje zonoje – 0,23, trečioje – 0,17. Raskite tikimybę, kad šaulys pataikys į taikinį, ir tikimybę, kad šaulys nepataikys į taikinį.

Sprendimas: Raskite tikimybę, kad šaulys pataikys į taikinį:

Raskime tikimybę, kad šaulys nepataikys į taikinį:

Sudėtingesnes problemas, kuriose reikia naudoti ir tikimybių sudėjimą, ir dauginimą, rasite puslapyje „Įvairios problemos, susijusios su tikimybių sudėtimi ir daugyba“.

Abipusiai vienalaikių įvykių tikimybių sudėjimas

Du atsitiktiniai įvykiai vadinami jungtiniais, jei vieno įvykio įvykis neatmeta galimybės įvykti antrojo įvykio tame pačiame stebėjime. Pavyzdžiui, metant kauliuką įvykis A Skaičius 4 laikomas išleistu, ir įvykis IN– lyginio skaičiaus ridenimas. Kadangi 4 yra lyginis skaičius, abu įvykiai yra suderinami. Praktikoje kyla problemų apskaičiuojant vieno iš abipusiai vienu metu vykstančių įvykių tikimybę.

Tikimybių sudėjimo teorema bendriems įvykiams. Tikimybė, kad įvyks vienas iš bendrų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai, iš kurios atimama abiejų įvykių bendro įvykio tikimybė, tai yra tikimybių sandauga. Bendrų įvykių tikimybių formulė yra tokia:

Nuo įvykių A Ir IN suderinamas, įvykis A+ INįvyksta, jei įvyksta vienas iš trijų galimų įvykių: arba AB. Pagal nesuderinamų įvykių pridėjimo teoremą apskaičiuojame taip:

Renginys Aįvyks, jei įvyks vienas iš dviejų nesuderinamų įvykių: arba AB. Tačiau vieno įvykio iš kelių nesuderinamų įvykių tikimybė yra lygi visų šių įvykių tikimybių sumai:

Taip pat:

Pakeitę išraiškas (6) ir (7) į išraišką (5), gauname bendrų įvykių tikimybės formulę:

Naudojant (8) formulę, reikia atsižvelgti į tai, kad įvykiai A Ir IN gali būti:

tarpusavyje nepriklausomi;
viena nuo kitos priklausomos.

Tikimybių formulė viena kitai nepriklausomiems įvykiams:

Tikimybių formulė viena kitai priklausomiems įvykiams:

Jei įvykiai A Ir IN yra nenuoseklūs, tada jų sutapimas yra neįmanomas atvejis ir todėl P(AB) = 0. Ketvirtoji nesuderinamų įvykių tikimybės formulė yra:

3 pavyzdys. Automobilių lenktynėse, kai vairuoji pirmą automobilį, turi didesnę galimybę laimėti, o kai vairuoji antrą automobilį. Rasti:

tikimybė, kad laimės abu automobiliai;
tikimybė, kad laimės bent vienas automobilis;

1) Tikimybė, kad laimės pirmasis automobilis, nepriklauso nuo antrojo automobilio rezultato, todėl įvykiai A(laimi pirmas automobilis) ir IN(laimės antrasis automobilis) – nepriklausomi renginiai. Raskime tikimybę, kad laimės abu automobiliai:

2) Raskite tikimybę, kad laimės vienas iš dviejų automobilių:

Sudėtingesnes problemas, kuriose reikia naudoti ir tikimybių sudėjimą, ir dauginimą, rasite puslapyje „Įvairios problemos, susijusios su tikimybių sudėtimi ir daugyba“.

Pats išspręskite tikimybių pridėjimo problemą, tada pažiūrėkite į sprendimą

4 pavyzdys. Mestos dvi monetos. Renginys A- herbo praradimas ant pirmosios monetos. Renginys B- antrosios monetos herbo praradimas. Raskite įvykio tikimybę C = A + B .

Tikimybių dauginimas

Tikimybių daugyba naudojamas, kai reikia apskaičiuoti įvykių loginės sandaugos tikimybę.

Šiuo atveju atsitiktiniai įvykiai turi būti nepriklausomi. Sakoma, kad du įvykiai yra vienas nuo kito nepriklausomi, jei vieno įvykio įvykis neturi įtakos antrojo įvykio tikimybei.

Tikimybių daugybos teorema nepriklausomiems įvykiams. Dviejų nepriklausomų įvykių vienu metu tikimybė A Ir IN yra lygus šių įvykių tikimybių sandaugai ir apskaičiuojamas pagal formulę:

5 pavyzdys. Moneta metama tris kartus iš eilės. Raskite tikimybę, kad herbas pasirodys visus tris kartus.

Sprendimas. Tikimybė, kad herbas atsiras pirmą kartą metant monetą, antrą kartą ir trečią kartą. Raskime tikimybę, kad herbas atsiras visus tris kartus:

Pats išspręskite tikimybių daugybos uždavinius ir tada pažiūrėkite į sprendimą

6 pavyzdys. Yra devynių naujų teniso kamuoliukų dėžutė. Norint žaisti, paimami trys kamuoliukai, o po žaidimo jie grąžinami atgal. Renkantis kamuoliukus, sužaisti kamuoliai neskiriami nuo nežaistų kamuolių. Kokia tikimybė, kad po trijų žaidimų dėžėje neliks nesužaistų kamuolių?

7 pavyzdys. Ant iškirptų abėcėlės kortelių užrašytos 32 rusiškos abėcėlės raidės. Atsitiktinai viena po kitos ištraukiamos penkios kortos ir dedamos ant stalo išvaizdos tvarka. Raskite tikimybę, kad raidės sudarys žodį „pabaiga“.

8 pavyzdys. Iš pilnos kortų kaladės (52 lapai) iš karto išimamos keturios kortos. Raskite tikimybę, kad visos keturios šios kortos bus skirtingų spalvų.

9 pavyzdys. Ta pati užduotis kaip ir 8 pavyzdyje, bet kiekviena korta išėmus grąžinama į kaladę.

Sudėtingesnes problemas, kuriose reikia naudoti ir tikimybių sudėtį, ir daugybą, taip pat apskaičiuoti kelių įvykių sandaugą, galite rasti puslapyje „Įvairios problemos, susijusios su tikimybių sudėjimu ir daugyba“.

Tikimybę, kad įvyks bent vienas iš tarpusavyje nepriklausomų įvykių, galima apskaičiuoti iš 1 atėmus priešingų įvykių tikimybių sandaugą, tai yra naudojant formulę.

Matematikos vieningo valstybinio egzamino užduotyse yra ir sudėtingesnių tikimybių uždavinių (nei nagrinėjome 1 dalyje), kur turime taikyti sudėjimo, tikimybių daugybos taisyklę ir atskirti suderinamus ir nesuderinamus įvykius.

Taigi, teorija.

Bendri ir nebendri renginiai

Įvykiai vadinami nesuderinamais, jei įvykęs vienas iš jų neleidžia įvykti kitiems. Tai yra, gali įvykti tik vienas ar kitas konkretus įvykis.

Pavyzdžiui, mesdami kauliuką, galite atskirti tokius įvykius kaip lyginio taškų skaičiaus gavimas ir nelyginio taškų skaičiaus gavimas. Šie įvykiai yra nesuderinami.

Įvykiai vadinami jungtiniais, jei vieno iš jų įvykis neatmeta kito.

Pavyzdžiui, mesdami kauliuką galite atskirti tokius įvykius kaip nelyginio taškų skaičiaus metimas ir taškų skaičiaus, kuris yra trijų kartotinis, metimas. Kai metimas tritaškis, įvyksta abu įvykiai.

Įvykių suma

Kelių įvykių suma (arba derinys) yra įvykis, susidedantis iš bent vieno iš šių įvykių.

Kuriame dviejų nesuderinamų įvykių suma yra šių įvykių tikimybių suma:

Pavyzdžiui, tikimybė gauti 5 ar 6 taškus ant kauliuko su vienu metimu bus , nes abu įvykiai (metimas 5, metimas 6) yra nesuderinami ir vieno ar kito įvykio tikimybė apskaičiuojama taip:

Tikimybė dviejų bendrų renginių suma lygi šių įvykių tikimybių sumai, neatsižvelgiant į jų bendrą atsiradimą:

Pavyzdžiui, prekybos centre du identiški aparatai parduoda kavą. Tikimybė, kad iki dienos pabaigos aparate baigsis kava, yra 0,3. Tikimybė, kad abiejuose aparatuose pritrūks kavos, yra 0,12. Raskime tikimybę, kad iki dienos pabaigos kava baigsis bent viename iš aparatų (tai yra arba viename, arba kitame, arba abiejuose iš karto).

Pirmojo įvykio „kava baigsis pirmame aparate“ tikimybė, taip pat antrojo įvykio „kava baigsis antrame aparate“ tikimybė pagal sąlygą lygi 0,3. Renginiai vyksta bendradarbiaujant.

Pirmųjų dviejų įvykių bendro atsiradimo tikimybė pagal būklę yra 0,12.

Tai reiškia, kad tikimybė, kad iki dienos pabaigos kava baigsis bent viename iš aparatų, yra

Priklausomi ir nepriklausomi renginiai

Du atsitiktiniai įvykiai A ir B vadinami nepriklausomais, jei vieno iš jų įvykimas nekeičia kito įvykimo tikimybės. Kitu atveju įvykiai A ir B vadinami priklausomais.

Pavyzdžiui, kai metami du kauliukai vienu metu, vienas iš jų, tarkime, 1, o kitas, 5, yra nepriklausomi įvykiai.

Tikimybių sandauga

Kelių įvykių sandauga (arba sankirta) yra įvykis, susidedantis iš visų šių įvykių bendro įvykio.

Jei atsiranda du nepriklausomi renginiai A ir B su tikimybėmis atitinkamai P(A) ir P(B), tada A ir B įvykių tikimybė vienu metu yra lygi tikimybių sandaugai:

Pavyzdžiui, mums įdomu du kartus iš eilės matyti šešetą ant kauliuko. Abu įvykiai yra nepriklausomi ir tikimybė, kad kiekvienas iš jų įvyks atskirai, yra . Tikimybė, kad įvyks abu šie įvykiai, bus apskaičiuojama naudojant aukščiau pateiktą formulę: .

Peržiūrėkite užduočių pasirinkimą, kad galėtumėte praktikuoti temą.