Teoria della probabilità. Probabilità di un evento, eventi casuali (teoria della probabilità)

Definizione classica di probabilità.

La probabilità di un evento è una misura quantitativa che viene introdotta per confrontare gli eventi in base al grado di possibilità che si verifichino.

Un evento che può essere rappresentato come un insieme (somma) di più eventi elementari è detto composito.

Un evento che non può essere scomposto in eventi più semplici si chiama elementare.

Un evento si dice impossibile se non si verifica mai nelle condizioni di un dato esperimento (test).

Gli eventi certi e impossibili non sono casuali.

Eventi congiunti– più eventi si dicono congiunti se, a seguito dell'esperimento, il verificarsi di uno di essi non esclude il verificarsi degli altri.

Eventi incompatibili– Più eventi si dicono incompatibili in un dato esperimento se il verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi degli altri. I due eventi vengono chiamati opposto, se uno di essi si verifica se e solo se l'altro non si verifica.

La probabilità dell'evento A è PAPÀ) – è chiamato rapporto numerico M eventi elementari (esiti) favorevoli al verificarsi dell'evento UN, al numero N di tutti gli eventi elementari nelle condizioni di un dato esperimento probabilistico.

Dalla definizione derivano le seguenti proprietà della probabilità:

1. La probabilità di un evento casuale è un numero positivo compreso tra 0 e 1:

(2)

2. La probabilità di un determinato evento è 1: (3)

3. Se un evento è impossibile, la sua probabilità è uguale a

(4)

4. Se gli eventi sono incompatibili, allora

5. Se gli eventi A e B sono congiunti, allora la probabilità della loro somma è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi senza la probabilità del loro verificarsi congiunto:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)(6)

6. Se e sono eventi opposti, allora (7)

7. Somma delle probabilità degli eventi A 1, A 2, …, A n, formando un gruppo completo, è uguale a 1:

P(A1) + P(A2) + …+ P(An) = 1.(8)

Negli studi economici i valori e nella formula possono essere interpretati diversamente. A definizione statistica La probabilità di un evento è il numero di osservazioni dei risultati sperimentali in cui l'evento si è verificato esattamente una volta. In questo caso la relazione viene chiamata frequenza relativa (frequenza) di un evento

Eventi A, B sono chiamati indipendente, se la probabilità di ciascuno di essi non dipende dal fatto che si sia verificato o meno un altro evento. Si chiamano le probabilità di eventi indipendenti incondizionato.

Eventi A, B sono chiamati dipendente, se la probabilità di ciascuno di essi dipende dal fatto che si sia verificato o meno un altro evento. Viene chiamata la probabilità dell'evento B, calcolata assumendo che un altro evento A si sia già verificato probabilità condizionale.

Se due eventi A e B sono indipendenti, allora le uguaglianze sono vere:

P(B) = P(B/A), P(A) = P(A/B) o P(B/A) – P(B) = 0(9)

La probabilità del prodotto di due eventi dipendenti A, B è uguale al prodotto della probabilità di uno di essi per la probabilità condizionata dell'altro:

P(AB) = P(B) ∙ P(A/B) O P(AB) = P(A) ∙ P(B/A) (10)

Probabilità dell'evento B dato il verificarsi dell'evento A:

(11)

Probabilità del prodotto di due indipendente eventi A, B è uguale al prodotto delle loro probabilità:

P(AB) = P(A) ∙ P(B)(12)

Se più eventi sono indipendenti a coppie, non ne consegue che siano indipendenti nel complesso.

Eventi A1, A2, ..., A n (n>2) sono detti indipendenti nel loro insieme se la probabilità di ciascuno di essi non dipende dal fatto che si sia verificato o meno uno qualsiasi degli altri eventi.

La probabilità del verificarsi congiunto di più eventi indipendenti nel complesso è pari al prodotto delle probabilità di questi eventi:

P(A 1 ∙A 2 ∙A 3 ∙…∙A n) = P(A 1)∙P(A 2)∙P(A 3)∙…∙P(A n). (13)

Se, quando si verifica un evento, la probabilità dell'evento non cambia, quindi gli eventi E sono chiamati indipendente.

Teorema:Probabilità del verificarsi contemporaneo di due eventi indipendenti E (lavori E ) è uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi.

Infatti, da allora eventi E sono indipendenti, quindi
. In questo caso, la formula per la probabilità che si verifichino gli eventi è E assume la forma.

Eventi
sono chiamati indipendenti a coppie, se due di essi sono indipendenti.

Eventi
sono chiamati congiuntamente indipendenti (o semplicemente indipendenti), se ciascuno di essi è indipendente e ogni evento e tutti i possibili prodotti degli altri sono indipendenti.

Teorema:Probabilità del prodotto di un numero finito di eventi indipendentemente indipendenti
è uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi.

Illustriamo la differenza nell'applicazione delle formule per la probabilità di un prodotto di eventi per eventi dipendenti e indipendenti utilizzando esempi

Esempio 1. La probabilità che il primo tiratore colpisca il bersaglio è 0,85, il secondo 0,8. Le armi spararono un colpo ciascuna. Qual è la probabilità che almeno un proiettile colpisca il bersaglio?

Soluzione: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Poiché i colpi sono indipendenti, allora

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0,97

Esempio 2. L'urna contiene 2 palline rosse e 4 nere. Ne vengono estratte 2 palline di seguito. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano rosse?

Soluzione: 1 caso. L'evento A è la comparsa di una pallina rossa alla prima estrazione, l'evento B alla seconda. Evento C – la comparsa di due palline rosse.

P(C) = P(A)*P(B/A) = (2/6)*(1/5) = 1/15

Caso 2. La prima palla estratta viene rimessa nel canestro

P(C) = P(A)*P(B) = (2/6)*(2/6) = 1/9

Formula della probabilità totale.

Lasciamo che l'evento può verificarsi solo con uno degli eventi incompatibili
, formando un gruppo completo. Ad esempio, un negozio riceve gli stessi prodotti da tre imprese e in quantità diverse. La probabilità di produrre prodotti di bassa qualità in queste imprese varia. Uno dei prodotti viene selezionato casualmente. È necessario determinare la probabilità che questo prodotto sia di scarsa qualità (evento ). Eventi qui
– questa è la selezione di un prodotto tra i prodotti dell'impresa corrispondente.

In questo caso, la probabilità dell'evento può essere considerato come la somma dei prodotti degli eventi
.

Usando il teorema per sommare le probabilità di eventi incompatibili, otteniamo
. Usando il teorema della moltiplicazione delle probabilità, troviamo

La formula risultante viene chiamata formula di probabilità totale.

Formula di Bayes

Lasciamo che l'evento si verifica contemporaneamente a uno dei eventi incompatibili
, le cui probabilità
(
) sono noti prima dell'esperimento ( probabilità a priori). Viene eseguito un esperimento, a seguito del quale viene registrato il verificarsi di un evento , ed è noto che questo evento aveva certe probabilità condizionate
(
). Dobbiamo trovare le probabilità degli eventi
se è noto che l'evento accaduto ( probabilità a posteriori).

Il problema è che, avendo nuove informazioni (si è verificato l'evento A), dobbiamo rivalutare le probabilità degli eventi
.

Basato sul teorema sulla probabilità del prodotto di due eventi

La formula risultante viene chiamata Formule di Bayes.

Concetti base di combinatoria.

Quando si risolvono una serie di problemi teorici e pratici, è necessario creare varie combinazioni da un insieme finito di elementi secondo regole date e contare il numero di tutte le possibili combinazioni di questo tipo. Tali compiti vengono solitamente chiamati combinatorio.

Quando risolvono i problemi, i combinatori utilizzano le regole della somma e del prodotto.

La dipendenza degli eventi è intesa in probabilistico senso, non funzionale. Ciò significa che in base al verificarsi di uno degli eventi dipendenti non si può giudicare in modo inequivocabile il verificarsi di un altro. Dipendenza probabilistica significa che il verificarsi di uno degli eventi dipendenti modifica solo la probabilità del verificarsi dell’altro. Se la probabilità non cambia, gli eventi sono considerati indipendenti.

Definizione: Sia uno spazio di probabilità arbitrario e alcuni eventi casuali. Dicono che evento UN non dipende dall'evento IN , se la sua probabilità condizionata coincide con la probabilità incondizionata:

Se , poi dicono che l'evento UN dipende dall'evento IN.

Il concetto di indipendenza è simmetrico, cioè se un evento UN non dipende dall'evento IN, quindi l'evento IN non dipende dall'evento UN. Anzi, lasciamo . Poi . Pertanto dicono semplicemente che gli eventi UN E IN indipendente.

La seguente definizione simmetrica dell'indipendenza degli eventi deriva dalla regola della moltiplicazione delle probabilità.

Definizione: Eventi UN E IN, definiti sullo stesso spazio di probabilità vengono chiamati indipendente, Se

Se , quindi eventi UN E IN sono chiamati dipendente.

Si noti che questa definizione è valida anche nel caso in cui O .

Proprietà degli eventi indipendenti.

1. Se gli eventi UN E IN sono indipendenti, allora sono indipendenti anche le seguenti coppie di eventi: .

▲ Dimostriamo, ad esempio, l'indipendenza degli eventi. Immaginiamo un evento UN COME: . Poiché gli eventi sono incompatibili, quindi, e per l'indipendenza degli eventi UN E IN lo capiamo. Questo è ciò che significa indipendenza. ■

2. Se l'evento UN non dipende dagli eventi IN 1 E ALLE 2, che sono incoerenti () , quell'evento UN non dipende dall'importo.

▲ Infatti utilizzando l'assioma di additività della probabilità e indipendenza dell'evento UN dagli eventi IN 1 E ALLE 2, abbiamo:

Il rapporto tra i concetti di indipendenza e incompatibilità.

Permettere UN E IN- tutti gli eventi che hanno una probabilità diversa da zero: , quindi . Se gli eventi UN E IN sono incoerenti (), allora l’uguaglianza non potrà mai aver luogo. Così, gli eventi incompatibili dipendono.

Quando si considerano più di due eventi contemporaneamente, la loro indipendenza a coppie non caratterizza sufficientemente la relazione tra gli eventi dell'intero gruppo. In questo caso viene introdotto il concetto di indipendenza in aggregato.

Definizione: Vengono chiamati eventi definiti sullo stesso spazio di probabilità collettivamente indipendenti, se per qualsiasi 2 £ milioni £ n e qualsiasi combinazione di indici l'uguaglianza è vera:

A m = 2 Dall'indipendenza nell'aggregato segue l'indipendenza degli eventi a coppie. Non è vero il contrario.

Esempio. (Bernstein S.N.)

Un esperimento casuale prevede il lancio di un tetraedro regolare (tetraedro). Si osserva un volto caduto. Le facce del tetraedro sono colorate come segue: 1a faccia - bianca, 2a faccia - nera,
Il 3° lato è rosso, il 4° lato contiene tutti i colori.

Consideriamo gli eventi:

UN= (dropout bianco); B= (ritiro nero);

C= (Goccia rossa).

Poi ;

Eventi, dunque UN, IN E CON sono indipendenti a coppie.

Tuttavia, .

Quindi eventi UN, IN E CON non sono collettivamente indipendenti.

In pratica, di regola, l'indipendenza degli eventi non viene stabilita controllandola per definizione, ma al contrario: gli eventi sono considerati indipendenti da alcune considerazioni esterne o tenendo conto delle circostanze di un esperimento casuale, e l'indipendenza viene utilizzata per trovare le probabilità che si verifichino gli eventi.

Teorema (moltiplicazione delle probabilità per eventi indipendenti).

Se gli eventi definiti sullo stesso spazio di probabilità sono indipendenti nell'aggregato, allora la probabilità del loro prodotto è uguale al prodotto delle probabilità:

▲ La dimostrazione del teorema consegue dalla definizione dell'indipendenza degli eventi nell'aggregato o dal teorema generale della moltiplicazione delle probabilità, tenendo conto del fatto che in questo caso

Esempio 1 (esempio tipico sulla ricerca delle probabilità condizionate, il concetto di indipendenza, il teorema dell'addizione delle probabilità).

Il circuito elettrico è costituito da tre elementi funzionanti in modo indipendente. Le probabilità di fallimento di ciascuno degli elementi sono rispettivamente uguali.

1) Trovare la probabilità di guasto del circuito.

2) È noto che il circuito è guasto.

Qual è la probabilità che abbia rifiutato:

a) 1° elemento; b) 3° elemento?

Soluzione. Considera gli eventi = (Rifiutato K elemento) ed evento UN= (Il circuito è guasto). Poi l'evento UN si presenta come:

1) Poiché gli eventi non sono incompatibili, l'assioma di additività della probabilità P3) non è applicabile e per trovare la probabilità si dovrebbe utilizzare il teorema generale della somma delle probabilità, secondo il quale

Dichiarazione generale del problema: le probabilità di alcuni eventi sono note ed è necessario calcolare le probabilità di altri eventi associati a questi eventi. In questi problemi sono necessarie operazioni con probabilità come addizione e moltiplicazione di probabilità.

Ad esempio, durante la caccia vengono sparati due colpi. Evento UN- colpire un'anatra con il primo colpo, evento B- colpito dal secondo colpo. Quindi la somma degli eventi UN E B- colpire con il primo o il secondo colpo oppure con due colpi.

Problemi di tipo diverso. Vengono forniti diversi eventi, ad esempio una moneta viene lanciata tre volte. Devi trovare la probabilità che lo stemma appaia tutte e tre le volte o che appaia almeno una volta. Questo è un problema di moltiplicazione delle probabilità.

Somma di probabilità di eventi incompatibili

L'addizione di probabilità viene utilizzata quando è necessario calcolare la probabilità di una combinazione o somma logica di eventi casuali.

Somma di eventi UN E B denota UN + B O UN ∪ B. La somma di due eventi è un evento che si verifica se e solo se si verifica almeno uno degli eventi. Significa che UN + B- un evento che si verifica se e solo se l'evento si è verificato durante l'osservazione UN o evento B, o contemporaneamente UN E B.

Se gli eventi UN E B sono reciprocamente incoerenti e se ne danno le probabilità, allora la probabilità che uno di questi eventi si verifichi come risultato di una prova viene calcolata utilizzando la somma delle probabilità.

Teorema dell'addizione di probabilità. La probabilità che si verifichi uno di due eventi tra loro incompatibili è pari alla somma delle probabilità di questi eventi:

Ad esempio, durante la caccia vengono sparati due colpi. Evento UN– colpire un'anatra con il primo colpo, evento IN– colpo dal secondo colpo, evento ( UN+ IN) – un colpo dal primo o dal secondo colpo o da due colpi. Quindi, se due eventi UN E IN– eventi incompatibili, quindi UN+ IN– il verificarsi di almeno uno di questi eventi o due eventi.

Esempio 1. In una scatola ci sono 30 palline della stessa dimensione: 10 rosse, 5 blu e 15 bianche. Calcolare la probabilità che una pallina colorata (non bianca) venga raccolta senza guardare.

Soluzione. Supponiamo che l'evento UN- “la pallina rossa è presa”, e l'evento IN- "La palla blu è stata presa." Quindi l'evento è "viene presa una palla colorata (non bianca)." Troviamo la probabilità dell'evento UN:

ed eventi IN:

Eventi UN E IN– reciprocamente incompatibili, poiché se viene presa una pallina, è impossibile prendere palline di colori diversi. Pertanto, utilizziamo l'addizione delle probabilità:

Il teorema per sommare probabilità per più eventi incompatibili. Se gli eventi costituiscono un insieme completo di eventi, allora la somma delle loro probabilità è uguale a 1:

Anche la somma delle probabilità di eventi opposti è uguale a 1:

Gli eventi opposti formano un insieme completo di eventi e la probabilità di un insieme completo di eventi è 1.

Le probabilità di eventi opposti sono solitamente indicate in lettere minuscole P E Q. In particolare,

da cui seguono le seguenti formule per la probabilità di eventi opposti:

Esempio 2. Il bersaglio nel poligono di tiro è diviso in 3 zone. La probabilità che un determinato tiratore spari al bersaglio nella prima zona è 0,15, nella seconda zona – 0,23, nella terza zona – 0,17. Trovare la probabilità che il tiratore colpisca il bersaglio e la probabilità che il tiratore manchi il bersaglio.

Soluzione: Trova la probabilità che il tiratore colpisca il bersaglio:

Troviamo la probabilità che il tiratore manchi il bersaglio:

Per problemi più complessi, in cui è necessario utilizzare sia l'addizione che la moltiplicazione delle probabilità, consultare la pagina "Vari problemi che comportano l'addizione e la moltiplicazione delle probabilità".

Somma di probabilità di eventi reciprocamente simultanei

Due eventi casuali si dicono congiunti se il verificarsi di un evento non esclude il verificarsi di un secondo evento nella stessa osservazione. Ad esempio, quando si lancia un dado si verifica l'evento UN Il numero 4 è considerato lanciato e l'evento IN– lanciando un numero pari. Poiché 4 è un numero pari, i due eventi sono compatibili. In pratica, ci sono problemi nel calcolare le probabilità del verificarsi di uno degli eventi reciprocamente simultanei.

Teorema dell'addizione delle probabilità per eventi congiunti. La probabilità che si verifichi uno degli eventi congiunti è pari alla somma delle probabilità di questi eventi, da cui viene sottratta la probabilità del verificarsi comune di entrambi gli eventi, cioè il prodotto delle probabilità. La formula per le probabilità di eventi congiunti ha la seguente forma:

Dagli eventi UN E IN compatibile, evento UN+ IN si verifica se si verifica uno dei tre possibili eventi: o AB. Secondo il teorema dell'addizione di eventi incompatibili, calcoliamo come segue:

Evento UN si verificherà se si verifica uno dei due eventi incompatibili: o AB. Tuttavia, la probabilità che si verifichi un evento tra diversi eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di tutti questi eventi:

Allo stesso modo:

Sostituendo le espressioni (6) e (7) nell'espressione (5), otteniamo la formula di probabilità per eventi congiunti:

Quando si utilizza la formula (8), è necessario tenere conto degli eventi UN E IN può essere:

reciprocamente indipendenti;
reciprocamente dipendenti.

Formula della probabilità per eventi reciprocamente indipendenti:

Formula della probabilità per eventi reciprocamente dipendenti:

Se gli eventi UN E IN sono incoerenti, allora la loro coincidenza è un caso impossibile e, quindi, P(AB) = 0. La quarta formula di probabilità per eventi incompatibili è:

Esempio 3. Nelle corse automobilistiche, quando guidi la prima macchina, hai maggiori possibilità di vincere, e quando guidi la seconda macchina. Trovare:

la probabilità che entrambe le vetture vincano;
la probabilità che almeno un'auto vinca;

1) La probabilità che la prima macchina vinca non dipende dal risultato della seconda macchina, quindi dagli eventi UN(la prima macchina vince) e IN(vincerà la seconda vettura) – eventi indipendenti. Troviamo la probabilità che entrambe le auto vincano:

2) Trovare la probabilità che una delle due auto vinca:

Risolvi tu stesso il problema dell'addizione di probabilità e poi osserva la soluzione

Esempio 4. Si lanciano due monete. Evento UN- perdita dello stemma sulla prima moneta. Evento B- perdita dello stemma sulla seconda moneta. Trova la probabilità di un evento C = UN + B .

Moltiplicazione delle probabilità

La moltiplicazione delle probabilità viene utilizzata quando è necessario calcolare la probabilità di un prodotto logico di eventi.

In questo caso, gli eventi casuali devono essere indipendenti. Due eventi si dicono indipendenti tra loro se il verificarsi di un evento non influenza la probabilità del verificarsi del secondo evento.

Teorema della moltiplicazione delle probabilità per eventi indipendenti. Probabilità del verificarsi contemporaneo di due eventi indipendenti UN E INè uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi e si calcola con la formula:

Esempio 5. La moneta viene lanciata tre volte di seguito. Trova la probabilità che lo stemma appaia tutte e tre le volte.

Soluzione. La probabilità che lo stemma appaia al primo lancio di una moneta, alla seconda e alla terza volta. Troviamo la probabilità che lo stemma appaia tutte e tre le volte:

Risolvi da solo i problemi di moltiplicazione delle probabilità e poi guarda la soluzione

Esempio 6. C'è una scatola con nove palline da tennis nuove. Per giocare si prendono tre palline e dopo la partita vengono rimesse a posto. Quando si scelgono le palle, le palle giocate non vengono distinte da quelle non giocate. Qual è la probabilità che dopo tre partite non rimangano più palline non giocate nella scatola?

Esempio 7. Sui cartoncini ritagliati sono scritte 32 lettere dell'alfabeto russo. Si estraggono a caso cinque carte una dopo l'altra e le si mettono sul tavolo in ordine di apparizione. Trova la probabilità che le lettere formino la parola "fine".

Esempio 8. Da un mazzo completo di carte (52 fogli), vengono estratte quattro carte contemporaneamente. Trova la probabilità che tutte e quattro queste carte abbiano semi diversi.

Esempio 9. Stesso compito dell'esempio 8, ma ogni carta dopo essere stata rimossa viene rimessa nel mazzo.

Problemi più complessi, in cui è necessario utilizzare sia l'addizione che la moltiplicazione delle probabilità, nonché calcolare il prodotto di più eventi, possono essere trovati nella pagina "Vari problemi che coinvolgono l'addizione e la moltiplicazione delle probabilità".

La probabilità che si verifichi almeno uno degli eventi tra loro indipendenti può essere calcolata sottraendo da 1 il prodotto delle probabilità di eventi opposti, cioè utilizzando la formula.

Nei compiti dell'Esame di Stato Unificato di matematica, ci sono anche problemi di probabilità più complessi (di quelli considerati nella Parte 1), in cui dobbiamo applicare la regola dell'addizione, della moltiplicazione delle probabilità e distinguere tra eventi compatibili e incompatibili.

Quindi, la teoria.

Eventi congiunti e non congiunti

Gli eventi si dicono incompatibili se il verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi degli altri. Cioè, può accadere solo un evento specifico o un altro.

Ad esempio, quando si lancia un dado, è possibile distinguere tra eventi come ottenere un numero pari di punti e ottenere un numero dispari di punti. Questi eventi sono incompatibili.

Gli eventi si dicono congiunti se il verificarsi di uno di essi non esclude il verificarsi dell'altro.

Ad esempio, quando si lancia un dado, è possibile distinguere eventi come il lancio di un numero dispari di punti e il lancio di un numero di punti multiplo di tre. Quando esce un tre si verificano entrambi gli eventi.

Somma di eventi

La somma (o combinazione) di più eventi è un evento costituito dal verificarsi di almeno uno di questi eventi.

In cui somma di due eventi incompatibili è la somma delle probabilità di questi eventi:

Ad esempio, la probabilità di ottenere 5 o 6 punti con un dado con un solo lancio sarà , perché entrambi gli eventi (lancio 5, lancio 6) sono incoerenti e la probabilità che si verifichi l'uno o l'altro evento viene calcolata come segue:

La probabilità somma di due eventi congiunti pari alla somma delle probabilità di questi eventi senza tener conto del loro verificarsi congiunto:

Ad esempio, in un centro commerciale, due macchine identiche vendono caffè. La probabilità che la macchina rimanga senza caffè entro la fine della giornata è 0,3. La probabilità che entrambe le macchine finiscano il caffè è 0,12. Troviamo la probabilità che entro la fine della giornata il caffè finisca in almeno una delle macchine (cioè in una, oppure nell'altra, oppure in entrambe contemporaneamente).

La probabilità del primo evento “il caffè finirà nella prima macchina” e la probabilità del secondo evento “il caffè finirà nella seconda macchina” in base alla condizione è 0,3. Gli eventi sono collaborativi.

La probabilità del verificarsi congiunto dei primi due eventi secondo la condizione è 0,12.

Ciò significa che la probabilità che entro la fine della giornata il caffè finisca in almeno una delle macchine è

Eventi dipendenti e indipendenti

Due eventi casuali A e B si dicono indipendenti se il verificarsi di uno di essi non cambia la probabilità del verificarsi dell’altro. Altrimenti gli eventi A e B si dicono dipendenti.

Ad esempio, quando due dadi vengono lanciati contemporaneamente, uno di essi, diciamo 1, e l'altro, 5, sono eventi indipendenti.

Prodotto di probabilità

Il prodotto (o l'intersezione) di più eventi è un evento costituito dal verificarsi congiunto di tutti questi eventi.

Se se ne verificano due eventi indipendenti A e B con probabilità P(A) e P(B) rispettivamente, allora la probabilità che si verifichino gli eventi A e B contemporaneamente è uguale al prodotto delle probabilità:

Ad esempio, siamo interessati a vedere apparire un sei su un dado due volte di seguito. Entrambi gli eventi sono indipendenti e la probabilità che ciascuno di essi si verifichi separatamente è . La probabilità che si verifichino entrambi questi eventi verrà calcolata utilizzando la formula sopra riportata: .

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