Teori probabilitas. Probabilitas suatu kejadian, kejadian acak (teori probabilitas)
Definisi klasik tentang probabilitas.
Probabilitas suatu peristiwa adalah ukuran kuantitatif yang digunakan untuk membandingkan peristiwa menurut tingkat kemungkinan terjadinya.
Suatu peristiwa yang dapat direpresentasikan sebagai kumpulan (penjumlahan) dari beberapa peristiwa dasar disebut gabungan.
Suatu peristiwa yang tidak dapat diuraikan lagi menjadi peristiwa-peristiwa yang lebih sederhana disebut peristiwa dasar.
Suatu peristiwa disebut mustahil jika tidak pernah terjadi pada kondisi percobaan (pengujian) tertentu.
Peristiwa tertentu dan mustahil tidak terjadi secara acak.
Acara bersama– beberapa peristiwa disebut gabungan jika, sebagai hasil percobaan, terjadinya salah satu peristiwa tidak mengecualikan terjadinya peristiwa lainnya.
Peristiwa yang tidak kompatibel– beberapa peristiwa disebut tidak sesuai dalam suatu percobaan tertentu jika terjadinya salah satu peristiwa tersebut mengecualikan terjadinya peristiwa lainnya. Kedua peristiwa tersebut disebut di depan, jika salah satunya terjadi jika dan hanya jika yang lainnya tidak terjadi.
Peluang kejadian A adalah P(A) – disebut rasio bilangan M peristiwa dasar (hasil) yang mendukung terjadinya peristiwa tersebut A, ke nomor tersebut N semua peristiwa dasar di bawah kondisi eksperimen probabilistik tertentu.
Sifat-sifat probabilitas berikut mengikuti definisinya:
1. Peluang suatu kejadian acak adalah bilangan positif antara 0 dan 1:
(2)
2. Peluang suatu kejadian tertentu adalah 1: (3)
3. Jika suatu kejadian tidak mungkin terjadi, maka peluangnya sama dengan
(4)
4. Jika kejadiannya tidak sesuai, maka
5. Jika kejadian A dan B terjadi bersamaan, maka peluang terjadinya gabungan sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut tanpa peluang terjadinya gabungan:
P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)(6)
6. Jika dan merupakan kejadian yang berlawanan, maka 
(7)
7. Jumlah probabilitas kejadian A 1, A 2, …, Dan, membentuk grup lengkap, sama dengan 1:
P(A 1) + P(A 2) + …+ P(A n) = 1.(8)
Dalam ilmu ekonomi, nilai dan rumusnya mungkin bisa diartikan berbeda. Pada definisi statistik Peluang suatu kejadian adalah banyaknya observasi hasil percobaan dimana kejadian tersebut terjadi tepat satu kali. Dalam hal ini relasinya disebut frekuensi relatif (frekuensi) suatu peristiwa
Acara A, B disebut mandiri, jika peluang masing-masing peristiwa tersebut tidak bergantung pada apakah peristiwa lain terjadi atau tidak. Peluang kejadian yang saling bebas disebut tak bersyarat.
Acara A, B disebut bergantung, jika probabilitas masing-masingnya bergantung pada apakah peristiwa lain terjadi atau tidak. Peluang kejadian B, dihitung dengan asumsi bahwa kejadian A lain telah terjadi, disebut probabilitas bersyarat.
Jika dua kejadian A dan B saling bebas, maka persamaannya benar:
P(B) = P(B/A), P(A) = P(A/B) atau P(B/A) – P(B) = 0(9)
Peluang hasil kali dua kejadian saling bergantung A, B sama dengan hasil kali peluang salah satu kejadian dengan peluang bersyarat yang lain:
P(AB) = P(B) ∙ P(A/B) atau P(AB) = P(A) ∙ P(B/A) (10)
Peluang kejadian B jika terjadinya kejadian A:
(11)
Peluang hasil kali dua mandiri kejadian A, B sama dengan hasil kali probabilitasnya:
P(AB) = P(A) ∙ P(B)(12)
Jika beberapa kejadian bersifat independen berpasangan, maka tidak berarti bahwa kejadian-kejadian tersebut independen secara agregat.
Acara SEBUAH 1, SEBUAH 2, …, SEBUAH n (n>2) Disebut independen secara agregat jika probabilitas masing-masing peristiwa tersebut tidak bergantung pada apakah peristiwa lain terjadi atau tidak.
Peluang terjadinya gabungan beberapa kejadian yang tidak saling bergantung sama dengan hasil kali peluang kejadian-kejadian tersebut:
P(A 1 ∙A 2 ∙A 3 ∙…∙A n) = P(A 1)∙P(A 2)∙P(A 3)∙…∙P(A n). (13)
Jika, ketika suatu peristiwa terjadi, peluang terjadinya peristiwa tersebut 
tidak berubah, maka kejadian 
Dan 
disebut mandiri.
Dalil:Peluang terjadinya dua kejadian yang saling bebas secara bersamaan 
Dan 
(berhasil 
Dan 
) sama dengan hasil kali probabilitas kejadian-kejadian tersebut.
Memang sejak itu
acara 
Dan 
kalau begitu, mereka mandiri 
. Dalam hal ini rumus peluang terjadinya suatu peristiwa adalah 
Dan 
mengambil formulir.
Acara 
disebut mandiri berpasangan, jika ada dua di antaranya yang independen.
Acara 
disebut bersama-sama independen (atau hanya mandiri), jika masing-masing dua peristiwa tersebut independen dan setiap kejadian serta semua kemungkinan hasil kali dari peristiwa lainnya adalah independen.
Dalil:Probabilitas hasil kali sejumlah kejadian independen yang terbatas
sama dengan hasil kali probabilitas kejadian-kejadian tersebut.
Mari kita ilustrasikan perbedaan penerapan rumus peluang suatu hasil kali kejadian kejadian tak bebas dan kejadian tak bebas dengan menggunakan contoh
Contoh 1. Peluang penembak pertama mengenai sasaran adalah 0,85, penembak kedua 0,8. Senjata-senjata itu masing-masing melepaskan satu tembakan. Berapa peluang paling sedikit satu peluru mengenai sasaran?
Penyelesaian: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Karena tembakan-tembakannya bebas, maka
P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0,97
Contoh 2. Guci tersebut berisi 2 bola merah dan 4 bola hitam. 2 bola diambil berturut-turut. Berapa peluang terambilnya kedua bola berwarna merah?
Solusi: 1 kasus. Kejadian A adalah munculnya bola merah pada pengambilan pertama, kejadian B pada pengambilan kedua. Peristiwa C – munculnya dua bola merah.
P(C) =P(A)*P(B/A) = (2/6)*(1/5) = 1/15
Kasus 2. Bola pertama yang ditarik dikembalikan ke keranjang
P(C) =P(A)*P(B) = (2/6)*(2/6) = 1/9
Rumus probabilitas total.
Biarkan acaranya 
hanya dapat terjadi dengan salah satu peristiwa yang tidak kompatibel
, membentuk kelompok yang lengkap. Misalnya, sebuah toko menerima produk yang sama dari tiga perusahaan dan dalam jumlah yang berbeda. Kemungkinan menghasilkan produk berkualitas rendah di perusahaan-perusahaan ini bervariasi. Salah satu produk dipilih secara acak. Hal ini diperlukan untuk menentukan kemungkinan bahwa produk ini berkualitas buruk (event 
). Acara di sini
– ini adalah pilihan produk dari produk perusahaan terkait.
Dalam hal ini, kemungkinan kejadiannya 
dapat dianggap sebagai jumlah dari hasil kali kejadian 
.
Dengan menggunakan teorema penjumlahan probabilitas kejadian-kejadian yang tidak sesuai, kita peroleh 
. Dengan menggunakan teorema perkalian probabilitas, kita temukan
.
Rumus yang dihasilkan disebut rumus probabilitas total.
rumus Bayes
Biarkan acaranya 
terjadi bersamaan dengan salah satunya 
kejadian yang tidak kompatibel
, kemungkinannya 
(
) diketahui sebelum percobaan ( probabilitas apriori). Suatu percobaan dilakukan, sebagai akibatnya terjadinya suatu peristiwa dicatat 
, dan diketahui bahwa kejadian ini mempunyai probabilitas bersyarat tertentu 
(
). Kita perlu menemukan probabilitas kejadian 
jika diketahui peristiwa itu 
telah terjadi ( probabilitas a posteriori).
Masalahnya adalah, dengan adanya informasi baru (peristiwa A terjadi), kita perlu memperkirakan ulang kemungkinan terjadinya peristiwa tersebut
.
Berdasarkan teorema peluang hasil kali dua kejadian
.
Rumus yang dihasilkan disebut rumus Bayes.
Konsep dasar kombinatorik.
Ketika memecahkan sejumlah masalah teoretis dan praktis, perlu untuk membuat berbagai kombinasi dari sekumpulan elemen berhingga sesuai dengan aturan yang diberikan dan menghitung jumlah semua kemungkinan kombinasi tersebut. Tugas seperti itu biasanya disebut kombinatorial.
Saat memecahkan masalah, ahli kombinatoris menggunakan aturan jumlah dan hasil kali.
Ketergantungan peristiwa dipahami dalam probabilistik masuk akal, tidak fungsional. Artinya, terjadinya salah satu peristiwa dependen tidak dapat digunakan untuk menilai secara jelas terjadinya peristiwa lain. Ketergantungan probabilistik berarti terjadinya salah satu peristiwa dependen hanya mengubah kemungkinan terjadinya peristiwa lainnya. Jika probabilitasnya tidak berubah, maka kejadian-kejadian tersebut dianggap independen.
Definisi: Misalkan adalah ruang probabilitas sembarang, dan berupa beberapa kejadian acak. Mereka mengatakan itu peristiwa A tidak bergantung pada peristiwa tersebut DI DALAM , jika probabilitas bersyaratnya bertepatan dengan probabilitas tanpa syarat:
.
Jika 
, lalu mereka mengatakan bahwa acara tersebut A tergantung pada acaranya DI DALAM.
Konsep independensi bersifat simetris, yaitu jika suatu peristiwa A tidak bergantung pada peristiwa tersebut DI DALAM, lalu acaranya DI DALAM tidak bergantung pada peristiwa tersebut A. Memang benar, biarlah . Kemudian 
. Oleh karena itu mereka hanya mengatakan peristiwa itu A Dan DI DALAM mandiri.
Definisi simetris tentang independensi peristiwa berikut mengikuti aturan perkalian probabilitas.
Definisi: Acara A Dan DI DALAM, didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama disebut mandiri, Jika
Jika , lalu acara A Dan DI DALAM disebut bergantung.
Perhatikan bahwa definisi ini juga berlaku jika atau .
Sifat-sifat peristiwa independen.
1. Jika peristiwa A Dan DI DALAM saling bebas, maka pasangan kejadian berikut juga bebas: .
▲ Mari kita buktikan, misalnya, independensi suatu peristiwa. Mari kita bayangkan sebuah peristiwa A sebagai: . Karena peristiwa-peristiwa tersebut tidak sesuai, maka , dan karena independensi peristiwa-peristiwa tersebut A Dan DI DALAM kita mengerti itu. Inilah arti kemerdekaan. ■
2. Jika acaranya A tidak bergantung pada peristiwa DALAM 1 Dan PADA 2, yang tidak konsisten () , acara itu A tidak tergantung pada jumlahnya.
▲ Memang benar menggunakan aksioma penjumlahan probabilitas dan independensi peristiwa A dari peristiwa DALAM 1 Dan PADA 2, kita punya:
Hubungan antara konsep independensi dan ketidakcocokan.
Membiarkan A Dan DI DALAM- kejadian apa pun yang peluangnya bukan nol: , jadi 
. Jika kejadiannya A Dan DI DALAM tidak konsisten (), maka kesetaraan tidak akan pernah terjadi. Dengan demikian, peristiwa yang tidak kompatibel bergantung.
Ketika lebih dari dua peristiwa dipertimbangkan secara bersamaan, independensi berpasangan mereka tidak cukup mencirikan hubungan antara peristiwa-peristiwa dalam seluruh kelompok. Dalam hal ini diperkenalkan konsep kemandirian secara agregat.
Definisi: Peristiwa yang didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama disebut mandiri secara kolektif, jika ada 2 £ m £ n dan kombinasi indeks apa pun, persamaannya benar:
Pada m = 2 Kemandirian secara agregat diikuti dengan kemandirian peristiwa yang berpasangan. Hal sebaliknya tidak benar.
Contoh. (Bernstein S.N.)
Eksperimen acak melibatkan pelemparan sebuah tetrahedron biasa (tetrahedron). Sebuah wajah yang terjatuh diamati. Muka-muka tetrahedron diwarnai sebagai berikut: Muka pertama berwarna putih, muka kedua berwarna hitam,
Sisi ke 3 berwarna merah, sisi ke 4 berisi semua warna.
Mari kita simak kejadiannya:
A= (putus sekolah berwarna putih); B= (putus sekolah hitam);
C= (Tetesan merah).
Kemudian 
;
Oleh karena itu, peristiwa A, DI DALAM Dan DENGAN independen berpasangan.
Namun, 
.
Oleh karena itu peristiwa A, DI DALAM Dan DENGAN tidak independen secara kolektif.
Dalam praktiknya, sebagai suatu peraturan, independensi suatu peristiwa tidak ditentukan dengan memeriksanya berdasarkan definisi, tetapi sebaliknya: peristiwa dianggap independen dari beberapa pertimbangan eksternal atau dengan mempertimbangkan keadaan eksperimen acak, dan independensi digunakan untuk menemukan kemungkinan terjadinya peristiwa.
Teorema (perkalian peluang kejadian independen).
Jika peristiwa-peristiwa yang didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama adalah independen secara agregat, maka probabilitas dari produknya sama dengan produk dari probabilitas-probabilitasnya:
▲ Pembuktian teorema berikut dari definisi independensi peristiwa secara agregat atau dari teorema umum perkalian probabilitas, dengan mempertimbangkan fakta bahwa dalam kasus ini
Contoh 1 (contoh tipikal mencari probabilitas bersyarat, konsep independensi, teorema penjumlahan probabilitas).
Rangkaian listrik terdiri dari tiga elemen yang beroperasi secara independen. Probabilitas kegagalan masing-masing elemen adalah sama.
1) Temukan kemungkinan kegagalan rangkaian.
2) Diketahui rangkaian mengalami kegagalan.
Berapa kemungkinan penolakannya:
a) elemen pertama; b) elemen ke-3?
Larutan. Perhatikan kejadiannya = (Menolak k elemen ke-), dan peristiwa A= (Rangkaian gagal). Lalu acaranya A disajikan sebagai:
.
1) Karena kejadian-kejadian tersebut tidak bertentangan, aksioma aditif probabilitas P3) tidak berlaku dan untuk mencari probabilitas seseorang harus menggunakan teorema umum penjumlahan probabilitas, yang menurutnya
Pernyataan umum masalah: probabilitas beberapa kejadian diketahui, dan Anda perlu menghitung probabilitas kejadian lain yang terkait dengan kejadian tersebut. Dalam permasalahan tersebut diperlukan operasi dengan probabilitas seperti penjumlahan dan perkalian probabilitas.
Misalnya, saat berburu, dua tembakan dilepaskan. Peristiwa A- memukul bebek dengan tembakan pertama, acara B- Pukulan dari tembakan kedua. Lalu jumlah kejadiannya A Dan B- Pukulan dengan tembakan pertama atau kedua atau dengan dua tembakan.
Masalah dari jenis yang berbeda. Ada beberapa peristiwa yang diberikan, misalnya sebuah mata uang dilempar sebanyak tiga kali. Anda perlu mencari probabilitas bahwa lambang tersebut akan muncul tiga kali, atau lambang tersebut akan muncul setidaknya satu kali. Ini adalah masalah perkalian probabilitas.
Penambahan probabilitas kejadian yang tidak kompatibel
Penjumlahan probabilitas digunakan ketika Anda perlu menghitung probabilitas kombinasi atau jumlah logis dari kejadian acak.
Jumlah peristiwa A Dan B menunjukkan A + B atau A ∪ B. Jumlah dua kejadian adalah kejadian yang terjadi jika dan hanya jika paling sedikit salah satu kejadian terjadi. Artinya A + B- suatu peristiwa yang terjadi jika dan hanya jika peristiwa itu terjadi selama pengamatan A atau acara B, atau secara bersamaan A Dan B.
Jika peristiwa A Dan B saling tidak konsisten dan probabilitasnya diberikan, maka probabilitas terjadinya salah satu kejadian tersebut sebagai akibat dari satu percobaan dihitung dengan menggunakan penjumlahan probabilitas.
Teorema penjumlahan probabilitas. Peluang terjadinya salah satu dari dua kejadian yang saling bertentangan sama dengan jumlah peluang kejadian berikut:
Misalnya, saat berburu, dua tembakan dilepaskan. Peristiwa A– memukul bebek dengan tembakan pertama, acara DI DALAM– pukulan dari tembakan kedua, event ( A+ DI DALAM) – pukulan dari tembakan pertama atau kedua atau dari dua tembakan. Jadi, jika dua peristiwa A Dan DI DALAM– acara yang tidak kompatibel, kalau begitu A+ DI DALAM– terjadinya setidaknya satu atau dua peristiwa ini.
Contoh 1. Ada 30 bola berukuran sama dalam sebuah kotak: 10 merah, 5 biru, dan 15 putih. Hitung peluang terambilnya bola berwarna (bukan putih) tanpa melihat.
Larutan. Mari kita asumsikan peristiwa itu A- “bola merah diambil”, dan acaranya DI DALAM- "Bola biru telah diambil." Kemudian acaranya adalah “diambil bola berwarna (bukan putih). Mari kita cari peluang kejadiannya A:
dan acara DI DALAM:
Acara A Dan DI DALAM– saling tidak cocok, karena jika diambil satu bola, maka tidak mungkin mengambil bola yang berbeda warna. Oleh karena itu, kami menggunakan penambahan probabilitas:
Teorema penjumlahan probabilitas untuk beberapa kejadian yang tidak kompatibel. Jika kejadian-kejadian tersebut merupakan himpunan kejadian yang lengkap, maka jumlah peluangnya sama dengan 1:
Jumlah peluang kejadian yang berlawanan juga sama dengan 1:
Kejadian yang berlawanan membentuk himpunan kejadian lengkap, dan peluang terjadinya himpunan kejadian lengkap adalah 1.
Probabilitas kejadian yang berlawanan biasanya ditunjukkan dengan huruf kecil P Dan Q. Secara khusus,
yang kemudian diikuti rumus peluang kejadian berlawanan berikut:
Contoh 2. Target dalam jarak tembak dibagi menjadi 3 zona. Peluang penembak tertentu akan menembak sasaran di zona pertama adalah 0,15, di zona kedua – 0,23, di zona ketiga – 0,17. Tentukan peluang penembak mengenai sasaran dan peluang penembak meleset dari sasaran.
Solusi: Tentukan peluang penembak mengenai sasaran:
Mari kita cari peluang penembaknya meleset dari sasaran:
Untuk soal yang lebih kompleks, yang mengharuskan Anda menggunakan penjumlahan dan perkalian probabilitas, lihat halaman "Berbagai soal yang melibatkan penjumlahan dan perkalian probabilitas".
Penambahan probabilitas kejadian yang saling simultan
Dua peristiwa acak disebut gabungan jika terjadinya suatu peristiwa tidak mengecualikan terjadinya peristiwa kedua dalam pengamatan yang sama. Misalnya saja pada saat acara pelemparan dadu A Angka 4 dianggap sebagai peluncuran dan acara DI DALAM– menggulung bilangan genap. Karena 4 bilangan genap, kedua kejadian ini kompatibel. Dalam prakteknya, terdapat permasalahan dalam menghitung peluang terjadinya salah satu kejadian yang saling simultan.
Teorema penjumlahan peluang kejadian gabungan. Peluang terjadinya salah satu kejadian gabungan sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut, yang kemudian dikurangi peluang terjadinya kedua kejadian tersebut, yaitu hasil kali peluang-peluang tersebut. Rumus peluang kejadian gabungan berbentuk sebagai berikut:
Sejak peristiwa A Dan DI DALAM kompatibel, acara A+ DI DALAM terjadi jika salah satu dari tiga kemungkinan kejadian terjadi: atau AB. Berdasarkan teorema penjumlahan kejadian tak kompatibel, kita menghitung sebagai berikut:
Peristiwa A akan terjadi jika salah satu dari dua peristiwa yang tidak kompatibel terjadi: atau AB. Akan tetapi, peluang terjadinya suatu kejadian dari beberapa kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang semua kejadian tersebut:
Juga:
Mengganti ekspresi (6) dan (7) ke dalam ekspresi (5), kita memperoleh rumus probabilitas untuk kejadian gabungan:
Saat menggunakan rumus (8), kejadian harus diperhitungkan A Dan DI DALAM dapat:
- saling mandiri;
- saling bergantung.
Rumus peluang kejadian yang saling bebas:
Rumus peluang kejadian saling bergantung:
Jika peristiwa A Dan DI DALAM tidak konsisten, maka kebetulan keduanya adalah hal yang mustahil dan, dengan demikian, P(AB) = 0. Rumus peluang keempat untuk kejadian yang tidak sesuai adalah:
Contoh 3. Dalam balap mobil, saat Anda mengendarai mobil pertama, Anda memiliki peluang menang lebih besar, dan saat Anda mengendarai mobil kedua. Menemukan:
- kemungkinan kedua mobil menang;
- kemungkinan paling sedikit satu mobil akan menang;
1) Peluang menangnya mobil pertama tidak bergantung pada hasil mobil kedua, begitu pula kejadiannya A(mobil pertama menang) dan DI DALAM(mobil kedua akan menang) – acara independen. Mari kita cari peluang kedua mobil menang:
2) Tentukan peluang salah satu dari dua mobil tersebut menang:
Untuk soal yang lebih kompleks, yang mengharuskan Anda menggunakan penjumlahan dan perkalian probabilitas, lihat halaman "Berbagai soal yang melibatkan penjumlahan dan perkalian probabilitas".
Selesaikan sendiri soal penjumlahan probabilitas, lalu lihat solusinya
Contoh 4. Dua buah uang logam dilempar. Peristiwa A- hilangnya lambang pada koin pertama. Peristiwa B- hilangnya lambang pada koin kedua. Temukan probabilitas suatu peristiwa C = A + B .
Mengalikan Probabilitas
Perkalian probabilitas digunakan ketika probabilitas suatu produk logis dari suatu kejadian harus dihitung.
Dalam hal ini, kejadian acak harus independen. Dua kejadian dikatakan saling bebas apabila terjadinya suatu kejadian tidak mempengaruhi peluang terjadinya kejadian kedua.
Teorema perkalian peluang untuk kejadian bebas. Peluang terjadinya dua kejadian yang saling bebas secara bersamaan A Dan DI DALAM sama dengan produk probabilitas kejadian-kejadian ini dan dihitung dengan rumus:
Contoh 5. Koin tersebut dilempar tiga kali berturut-turut. Tentukan peluang munculnya lambang negara sebanyak tiga kali.
Larutan. Peluang munculnya lambang negara pada pelemparan uang logam pertama, kedua, dan ketiga. Mari kita cari peluang munculnya lambang negara sebanyak tiga kali:
Selesaikan sendiri soal perkalian probabilitas, lalu lihat solusinya
Contoh 6. Ada sekotak sembilan bola tenis baru. Untuk bermain, tiga bola diambil, dan setelah pertandingan dimasukkan kembali. Saat memilih bola, bola yang dimainkan tidak dibedakan dengan bola yang belum dimainkan. Berapa peluang bahwa setelah tiga pertandingan tidak akan ada lagi bola yang belum dimainkan di dalam kotak?
Contoh 7. 32 huruf alfabet Rusia ditulis pada kartu alfabet yang dipotong. Lima kartu diambil secara acak satu demi satu dan diletakkan di atas meja sesuai urutan kemunculannya. Tentukan peluang terambilnya huruf-huruf tersebut membentuk kata "akhir".
Contoh 8. Dari setumpuk kartu yang penuh (52 lembar), dikeluarkan empat kartu sekaligus. Temukan peluang bahwa keempat kartu ini memiliki jenis yang berbeda.
Contoh 9. Tugasnya sama seperti pada contoh 8, tetapi setiap kartu setelah dikeluarkan dikembalikan ke dek.
Masalah yang lebih kompleks, di mana Anda perlu menggunakan penjumlahan dan perkalian probabilitas, serta menghitung produk dari beberapa kejadian, dapat ditemukan di halaman "Berbagai masalah yang melibatkan penjumlahan dan perkalian probabilitas".
Peluang terjadinya paling sedikit salah satu kejadian yang saling bebas dapat dihitung dengan mengurangkan 1 hasil kali peluang kejadian yang berlawanan, yaitu dengan menggunakan rumus.
Dalam tugas-tugas Unified State Examination matematika, terdapat juga soal probabilitas yang lebih kompleks (daripada yang kita bahas di Bagian 1), di mana kita harus menerapkan aturan penjumlahan, perkalian probabilitas, dan membedakan kejadian yang kompatibel dan tidak kompatibel.
Jadi, teorinya.
Acara gabungan dan non-gabungan
Peristiwa disebut tidak sesuai apabila terjadinya salah satu peristiwa meniadakan terjadinya peristiwa lain. Artinya, hanya satu atau beberapa peristiwa tertentu yang dapat terjadi.
Misalnya pada saat melempar dadu, Anda dapat membedakan kejadian seperti mendapat jumlah poin genap dan mendapatkan jumlah poin ganjil. Peristiwa-peristiwa ini tidak sejalan.
Peristiwa disebut gabungan apabila terjadinya salah satu peristiwa tersebut tidak meniadakan terjadinya peristiwa lainnya.
Misalnya, saat melempar sebuah dadu, Anda dapat membedakan kejadian seperti pelemparan sejumlah poin ganjil dan pelemparan sejumlah poin yang merupakan kelipatan tiga. Ketika angka tiga dilempar, kedua peristiwa terjadi.
Jumlah peristiwa
Jumlah (atau kombinasi) beberapa peristiwa adalah suatu peristiwa yang terdiri dari terjadinya paling sedikit salah satu peristiwa tersebut.
Di mana jumlah dari dua kejadian yang tidak kompatibel adalah jumlah peluang kejadian-kejadian berikut:
Misalnya, peluang munculnya 5 atau 6 poin pada sebuah dadu dengan satu pelemparan adalah , karena kedua kejadian (pelemparan 5, pelemparan 6) tidak konsisten dan peluang terjadinya satu atau peristiwa lain dihitung sebagai berikut:
Kemungkinannya jumlah dari dua acara gabungan sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian ini tanpa memperhitungkan kejadian gabungannya:
Misalnya, di sebuah pusat perbelanjaan, dua mesin identik menjual kopi. Peluang mesin kehabisan kopi pada penghujung hari adalah 0,3. Peluang kedua mesin kehabisan kopi adalah 0,12. Mari kita cari kemungkinan bahwa pada akhir hari kopi akan habis di setidaknya salah satu mesin (yaitu, salah satu, atau yang lain, atau keduanya sekaligus).
Peluang kejadian pertama “kopi habis di mesin pertama” dan peluang kejadian kedua “kopi habis di mesin kedua” menurut kondisi adalah sama dengan 0,3. Acara bersifat kolaboratif.
Peluang terjadinya gabungan dua kejadian pertama menurut kondisi adalah 0,12.
Artinya peluang bahwa pada akhir hari kopi tersebut akan habis pada paling sedikit salah satu mesin adalah
Peristiwa ketergantungan dan independen
Dua kejadian acak A dan B disebut saling bebas jika kejadian salah satunya tidak mengubah peluang terjadinya kejadian lainnya. Jika tidak, kejadian A dan B disebut saling bergantung.
Misalnya, ketika dua dadu dilempar secara bersamaan, salah satunya, katakanlah 1, dan yang lainnya, 5, adalah kejadian independen.
Produk dari probabilitas
Produk (atau perpotongan) beberapa peristiwa adalah suatu peristiwa yang terdiri dari terjadinya gabungan semua peristiwa tersebut.
Jika dua terjadi acara independen A dan B dengan peluang masing-masing P(A) dan P(B), maka peluang terjadinya kejadian A dan B secara bersamaan sama dengan hasil kali peluang:
Misalnya, kita tertarik untuk mendapatkan angka enam pada dadu dua kali berturut-turut. Kedua kejadian tersebut saling bebas dan peluang terjadinya masing-masing kejadian secara terpisah adalah . Peluang terjadinya kedua kejadian tersebut akan dihitung dengan menggunakan rumus di atas: .
Lihat pilihan tugas untuk melatih topik tersebut.
