Izlazak. U nasumičnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput u problemima s kockicama.
Stanje
U nasumičnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerojatnost da će se drugi put pojaviti ista stvar kao i prvi put.
Riješenje
- Ovaj problem ćemo riješiti pomoću formule:
Gdje je P(A) vjerojatnost događaja A, m je broj povoljnih ishoda za ovaj događaj, n je ukupan broj mogućih ishoda.
- Primijenimo ovu teoriju na naš problem:
A – događaj kada se po drugi put pojavljuje ista stvar kao i prvi put;
P(A) – vjerojatnost da će se ista stvar pojaviti drugi put kao i prvi put.
- Definirajmo m i n:
m je broj ishoda koji su povoljni za ovaj događaj, odnosno broj ishoda kada se drugi put dogodi isto što i prvi put. U eksperimentu se dva puta baca novčić koji ima 2 strane: rep (P) i glavu (O). Drugi put treba nam ispasti isto što i prvi put, a to je moguće kada se pojave sljedeće kombinacije: OO ili PP, odnosno ispadne da
m = 2, budući da postoje 2 moguće opcije, kada se drugi put pojavi ista stvar kao i prvi;
n je ukupan broj mogućih ishoda, odnosno da bismo odredili n trebamo pronaći broj svih mogućih kombinacija koje se mogu pojaviti kada se novčić dva puta baca. Prilikom prvog bacanja novčić može doći ili do repa ili do vrha, odnosno moguće su dvije opcije. Prilikom drugog bacanja novčića moguće su potpuno iste opcije. Ispostavilo se da
Problemi s bacanjem novčića smatraju se prilično teškima. A prije nego ih se riješi potrebno je malo objašnjenja. Razmislite o tome, svaki problem u teoriji vjerojatnosti na kraju se svodi na standardnu formulu:
gdje je p željena vjerojatnost, k broj događaja koji nam odgovaraju, n ukupan broj mogućih događaja.
Većina B6 problema može se riješiti pomoću ove formule doslovno u jednom retku - samo pročitajte uvjet. Ali u slučaju bacanja novčića, ova formula je beskorisna, jer iz teksta takvih zadataka uopće nije jasno čemu su jednaki brojevi k i n. Tu leži poteškoća.
Međutim, postoje najmanje dvije bitno različite metode rješenja:
- Metoda nabrajanja kombinacija je standardni algoritam. Ispisuju se sve kombinacije glave i repa, nakon čega se odabiru potrebne;
- Posebna formula vjerojatnosti je standardna definicija vjerojatnosti, posebno prepisana tako da je prikladno raditi s novčićima.
Za rješavanje problema B6 morate poznavati obje metode. Nažalost, u školama se uči samo prvi. Ne ponavljajmo školske greške. Pa, idemo!
Metoda kombiniranog pretraživanja
Ova metoda se također naziva "rješenje unaprijed". Sastoji se od tri koraka:
- Zapisujemo sve moguće kombinacije glave i repa. Na primjer: OR, RO, OO, RR. Broj takvih kombinacija je n;
- Među dobivenim kombinacijama bilježimo one koje zahtijevaju uvjeti problema. Brojimo označene kombinacije - dobivamo broj k;
- Ostaje pronaći vjerojatnost: p = k: n.
Nažalost, ova metoda radi samo za mali broj bacanja. Jer svakim novim bacanjem broj kombinacija se udvostručuje. Na primjer, za 2 novčića morat ćete napisati samo 4 kombinacije. Za 3 novčića već ih ima 8, a za 4 - 16, a vjerojatnost pogreške se približava 100%. Pogledajte primjere i sve će vam biti jasno:
Zadatak. U nasumičnom eksperimentu, simetričan novčić se baca dvaput. Pronađite vjerojatnost da dobijete isti broj glava i repova.
Dakle, novčić se baca dva puta. Zapišimo sve moguće kombinacije (O - glave, P - repovi):
Ukupno n = 4 opcije. Sada zapišimo opcije koje odgovaraju uvjetima problema:
Bilo je k = 2 takve opcije. Nađite vjerojatnost:
Zadatak. Novčić se baca četiri puta. Pronađite vjerojatnost da nikada nećete dobiti glave.
Opet zapisujemo sve moguće kombinacije glave i repa:
OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP
Ukupno je bilo n = 16 opcija. Čini se da nisam ništa zaboravio. Od ovih opcija, zadovoljni smo jedino kombinacijom “OOOO” koja uopće ne sadrži repove. Stoga je k = 1. Ostaje pronaći vjerojatnost:
Kao što vidite, u prošlom zadatku morao sam napisati 16 opcija. Jeste li sigurni da ih možete napisati bez ijedne pogreške? Osobno nisam siguran. Pa pogledajmo drugo rješenje.
Posebna formula vjerojatnosti
Dakle, problemi s novčićima imaju svoju formulu vjerojatnosti. Toliko je jednostavan i važan da sam ga odlučio formulirati u obliku teorema. Pogledaj:
Teorema. Neka se novčić baci n puta. Tada se vjerojatnost da će se glave pojaviti točno k puta može pronaći pomoću formule:
Gdje je C n k broj kombinacija n elemenata po k, koji se izračunava formulom:
Dakle, da biste riješili problem novčića, potrebna su vam dva broja: broj bacanja i broj glava. Najčešće se ti brojevi daju izravno u tekstu problema. Štoviše, nije važno što točno brojite: repove ili glave. Odgovor će biti isti.
Na prvi pogled, teorem se čini previše glomazan. Ali nakon što malo vježbate, više se nećete htjeti vratiti na gore opisani standardni algoritam.
Zadatak. Novčić se baca četiri puta. Pronađite vjerojatnost da dobijete glave točno tri puta.
Prema uvjetima zadatka ukupno je bilo n = 4 bacanja: k = 3. Zamijenite n i k u formulu:
Zadatak. Novčić se baca tri puta. Pronađite vjerojatnost da nikada nećete dobiti glave.
Ponovno zapisujemo brojeve n i k. Budući da je novčić bačen 3 puta, n = 3. A budući da ne bi trebalo biti glava, k = 0. Ostaje zamijeniti brojeve n i k u formulu:
Da vas podsjetim da je 0! = 1 po definiciji. Stoga je C 3 0 = 1.
Zadatak. U nasumičnom eksperimentu, simetričan novčić je bačen 4 puta. Nađite vjerojatnost da će se glave pojaviti više puta nego repovi.
Da bi bilo više glava nego repova, moraju se pojaviti ili 3 puta (tada će biti 1 rep) ili 4 puta (tada neće biti uopće repova). Nađimo vjerojatnost svakog od ovih događaja.
Neka je p 1 vjerojatnost da će se glave pojaviti 3 puta. Tada je n = 4, k = 3. Imamo:
Nađimo sada p 2 - vjerojatnost da će se glave pojaviti sva 4 puta. U ovom slučaju je n = 4, k = 4. Imamo:
Da bismo dobili odgovor, preostaje samo zbrojiti vjerojatnosti p 1 i p 2 . Zapamtite: vjerojatnosti možete dodati samo za međusobno isključive događaje. Imamo:
p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125
U teoriji vjerojatnosti postoji skupina problema za koje je dovoljno poznavati klasičnu definiciju vjerojatnosti i vizualno prikazati predloženu situaciju. Takvi problemi uključuju većinu problema s bacanjem novčića i problema s bacanjem kockica. Prisjetimo se klasične definicije vjerojatnosti.
Vjerojatnost događaja A (objektivna mogućnost događanja događaja u numeričkom smislu) jednaka je omjeru broja ishoda koji su povoljni za taj događaj prema ukupnom broju svih jednako mogućih nekompatibilnih elementarnih ishoda: P(A)=m/n, Gdje:
- m je broj ishoda elementarnog ispitivanja koji pogoduju pojavi događaja A;
- n je ukupan broj svih mogućih elementarnih ishoda testa.
Nabrajanjem svih mogućih opcija (kombinacija) i izravnim prebrojavanjem zgodno je odrediti broj mogućih ishoda elementarnih testova i broj povoljnih ishoda u problemima koji se razmatraju.
Iz tablice vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=4. Povoljni ishodi događaja A = (glave se pojavljuju 1 put) odgovaraju opciji br. 2 i br. 3 eksperimenta, postoje dvije takve opcije m = 2.
Odredite vjerojatnost događaja P(A)=m/n=2/4=0,5
Problem 2 . U nasumičnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Pronađite vjerojatnost da uopće nećete dobiti nijednu glavu.
Riješenje
. Budući da se novčić baca dva puta, tada je, kao u problemu 1, broj mogućih elementarnih ishoda n=4. Povoljni ishodi događaja A = (glave se neće pojaviti niti jednom) odgovaraju opciji br. 4 eksperimenta (vidi tablicu u zadatku 1). Postoji samo jedna takva opcija, što znači m=1.
Odredite vjerojatnost događaja P(A)=m/n=1/4=0,25
Problem 3 . U nasumičnom eksperimentu, simetričan novčić baca se tri puta. Nađite vjerojatnost da će se glave pojaviti točno 2 puta.
Riješenje . Predstavljamo moguće opcije za tri bacanja novčića (sve moguće kombinacije glave i repa) u obliku tablice:
Iz tablice vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=8. Povoljni ishodi događaja A = (glave se pojavljuju 2 puta) odgovaraju opcijama br. 5, 6 i 7 eksperimenta. Postoje tri takve opcije, što znači m=3.
Odredite vjerojatnost događaja P(A)=m/n=3/8=0,375
Problem 4 . U nasumičnom eksperimentu, simetričan novčić se baci četiri puta. Pronađite vjerojatnost da dobijete glave točno 3 puta.
Riješenje . Predstavljamo moguće opcije za četiri bacanja novčića (sve moguće kombinacije glave i repa) u obliku tablice:
| Opcija br. | 1. bacanje | 2. bacanje | 3. bacanje | 4. bacanje | Opcija br. | 1. bacanje | 2. bacanje | 3. bacanje | 4. bacanje |
| 1 | Orao | Orao | Orao | Orao | 9 | repovi | Orao | repovi | Orao |
| 2 | Orao | repovi | repovi | repovi | 10 | Orao | repovi | Orao | repovi |
| 3 | repovi | Orao | repovi | repovi | 11 | Orao | repovi | repovi | Orao |
| 4 | repovi | repovi | Orao | repovi | 12 | Orao | Orao | Orao | repovi |
| 5 | repovi | repovi | repovi | Orao | 13 | repovi | Orao | Orao | Orao |
| 6 | Orao | Orao | repovi | repovi | 14 | Orao | repovi | Orao | Orao |
| 7 | repovi | Orao | Orao | repovi | 15 | Orao | Orao | repovi | Orao |
| 8 | repovi | repovi | Orao | Orao | 16 | repovi | repovi | repovi | repovi |
Iz tablice vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=16. Povoljni ishodi događaja A = (glave će se pojaviti 3 puta) odgovaraju opcijama br. 12, 13, 14 i 15 eksperimenta, što znači m = 4.
Odredite vjerojatnost događaja P(A)=m/n=4/16=0,25
 |
Određivanje vjerojatnosti u zadacima s kockicama
Problem 5 . Odredite vjerojatnost da ćete prilikom bacanja kocke (poštene kocke) dobiti više od 3 boda.
Riješenje
. Prilikom bacanja kocke (obične kocke) može ispasti bilo koje od njenih šest lica, tj. dogodi se bilo koji od elementarnih događaja - gubitak od 1 do 6 točaka (bodova). To znači da je broj mogućih elementarnih ishoda n=6.
Događaj A = (više od 3 bačena boda) znači da je bačeno 4, 5 ili 6 bodova (bodova). To znači da je broj povoljnih ishoda m=3.
Vjerojatnost događaja P(A)=m/n=3/6=0,5
Problem 6 . Odredite vjerojatnost da prilikom bacanja kocke dobijete broj bodova ne veći od 4. Zaokružite rezultat na najbližu tisućinku.
Riješenje
. Prilikom bacanja kocke može ispasti bilo koja od njenih šest strana, tj. dogodi se bilo koji od elementarnih događaja - gubitak od 1 do 6 točaka (bodova). To znači da je broj mogućih elementarnih ishoda n=6.
Događaj A = (ne više od 4 bačena boda) znači da je bačeno 4, 3, 2 ili 1 bod (bod). To znači da je broj povoljnih ishoda m=4.
Vjerojatnost događaja R(A)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667
Problem 7 . Kocka se baca dva puta. Odredite vjerojatnost da je bačeni broj oba puta manji od 4.
Riješenje . Budući da se kocka (kocka) baca dvaput, zaključit ćemo na sljedeći način: ako je jedan bod bačen na prvu kockicu, tada 1, 2, 3, 4, 5, 6 mogu pasti na drugu kockicu. Dobivamo parove (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) i tako dalje sa svakim licem. Predstavimo sve slučajeve u obliku tablice od 6 redaka i 6 stupaca:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Izračunamo povoljne ishode događaja A = (oba puta je broj bio manji od 4) (podebljani su) i dobijemo m=9.
Odredite vjerojatnost događaja P(A)=m/n=9/36=0,25
Problem 8 . Kocka se baca dva puta. Odredite vjerojatnost da je veći od dva izvučena broja 5. Zaokružite odgovor na najbližu tisuću.
Riješenje . U tablici prikazujemo sve moguće ishode dva bacanja kocke:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Iz tablice vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=6*6=36.
Izračunamo povoljne ishode događaja A = (najveći od dva izvučena broja je 5) (podebljani su) i dobijemo m=8.
Pronađite vjerojatnost događaja P(A)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222
Problem 9 . Kocka se baca dva puta. Odredite vjerojatnost da se broj manji od 4 baci barem jednom.
Riješenje . U tablici prikazujemo sve moguće ishode dva bacanja kocke:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Iz tablice vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=6*6=36.
Izraz “barem jednom se pojavio broj manji od 4” znači “broj manji od 4 se pojavio jednom ili dva puta”, zatim broj povoljnih ishoda događaja A = (barem jednom se pojavio broj manji od 4 ) (podebljani su) m=27.
Odredite vjerojatnost događaja P(A)=m/n=27/36=0,75
