확률 이론. 사건의 확률, 무작위 사건(확률 이론)

확률의 고전적인 정의.

사건의 확률은 사건의 발생 가능성 정도에 따라 사건을 비교하기 위해 도입되는 정량적 척도입니다.

여러 기본 사건의 집합(합)으로 표현될 수 있는 사건을 복합 사건이라고 합니다.

더 간단한 것으로 나눌 수 없는 사건을 초등 사건이라고 합니다.

주어진 실험(테스트)의 조건에서 결코 발생하지 않는 사건을 불가능이라고 합니다.

확실한 사건과 불가능한 사건은 무작위가 아닙니다.

공동 이벤트– 실험 결과 그 중 하나의 발생이 다른 이벤트의 발생을 배제하지 않는 경우 여러 이벤트를 결합이라고 합니다.

호환되지 않는 이벤트– 여러 사건 중 하나의 발생이 다른 사건의 발생을 배제하는 경우 주어진 실험에서 여러 사건을 호환되지 않는 것으로 간주합니다. 두 가지 이벤트가 호출됩니다. 반대,그 중 하나가 발생하는 경우와 다른 하나가 발생하지 않는 경우에만 해당됩니다.

사건 A의 확률은 다음과 같습니다. 아빠) – 수비라고 한다 중사건 발생에 유리한 기본 사건(결과) ㅏ,숫자에 N주어진 확률 실험 조건 하의 모든 기본 사건.

확률의 다음 속성은 정의를 따릅니다.

1. 무작위 사건의 확률은 0과 1 사이의 양수입니다.

(2)

2. 특정 사건의 확률은 1입니다: (3)

3. 사건이 불가능한 경우 그 확률은 다음과 같습니다.

(4)

4. 이벤트가 호환되지 않는 경우

5. 사건 A와 B가 결합된 경우 그 합의 확률은 결합 발생 확률을 제외한 이러한 사건의 확률의 합과 같습니다.

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)(6)

6. 과 가 반대 사건이라면, (7)

7. 사건 확률의 합 A 1, A 2, …, An, 완전한 그룹을 형성하는 것은 1과 같습니다:

P(A 1) + P(A 2) + …+ P(A n) = 1.(8)

경제 연구에서는 값과 공식이 다르게 해석될 수 있습니다. ~에 통계적 정의사건의 확률은 사건이 정확히 한 번 발생한 실험 결과의 관측치 수입니다. 이 경우 관계를 호출합니다. 사건의 상대빈도(빈도)

이벤트 에이, 비호출된다 독립적인, 각각의 확률이 다른 사건이 발생했는지 여부에 의존하지 않는 경우. 독립적인 사건의 확률을 호출합니다. 무조건적인.

이벤트 에이, 비호출된다 매달린, 각각의 확률이 다른 사건이 발생했는지 여부에 따라 달라지는 경우. 또 다른 사건 A가 이미 발생했다는 가정하에 계산된 사건 B의 확률을 다음과 같이 부릅니다. 조건부 확률.

두 사건 A와 B가 독립이면 등식은 참입니다.

P(B) = P(B/A), P(A) = P(A/B) 또는 P(B/A) – P(B) = 0(9)

두 종속 사건 A, B의 곱의 확률은 그 중 하나의 확률과 다른 사건의 조건부 확률의 곱과 같습니다.

P(AB) = P(B) ∙ P(A/B)또는 P(AB) = P(A) ∙ P(B/A) (10)

사건 A의 발생에 따른 사건 B의 확률:

(11)

2의 곱의 확률 독립적인사건 A, B는 확률의 곱과 같습니다.

P(AB) = P(A) ∙ P(B)(12)

여러 사건이 쌍독립이라면, 집합적으로는 독립이라는 결론이 나오지 않습니다.

이벤트 A 1, A 2, ..., An (n>2)각 사건의 확률이 다른 사건이 발생했는지 여부에 의존하지 않는 경우 집합적으로 독립이라고 합니다.

전체적으로 독립적인 여러 사건이 동시에 발생할 확률은 이러한 사건의 확률을 곱한 것과 같습니다.

P(A 1 ∙A 2 ∙A 3 ∙…∙A n) = P(A 1)∙P(A 2)∙P(A 3)∙…∙P(A n). (13)

만약 어떤 사건이 일어났을 때 그 사건이 일어날 확률은 변하지 않으면 이벤트가 발생합니다 그리고 호출된다 독립적인.

정리:두 개의 독립적인 사건이 동시에 발생할 확률 그리고 (공장 그리고 )는 이러한 사건의 확률을 곱한 것과 같습니다.

실제로 그 이후로 이벤트 그리고 독립한 다음
. 이 경우 사건이 발생할 확률에 대한 공식은 다음과 같습니다. 그리고 형태를 취합니다.

이벤트
호출된다 쌍별 독립, 둘 중 둘이 독립인 경우.

이벤트
호출된다 공동으로 독립(또는 단순히 독립), 두 개가 모두 독립이고 나머지의 모든 사건과 가능한 모든 제품이 독립인 경우.

정리:유한한 수의 독립적인 사건의 곱의 확률
이 사건의 확률을 곱한 것과 같습니다.

예를 사용하여 종속 사건과 독립 사건에 대한 사건의 곱의 확률에 대한 공식 적용의 차이점을 설명해 보겠습니다.

실시예 1. 첫 번째 사수가 목표물에 명중할 확률은 0.85, 두 번째 사수가 목표물에 명중할 확률은 0.8입니다. 총은 각각 한 발씩 발사되었습니다. 적어도 하나의 포탄이 목표물에 명중할 확률은 얼마입니까?

풀이: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) 샷이 독립적이므로

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0.97

실시예 2. 항아리에는 빨간색 공 2개와 검은색 공 4개가 들어 있습니다. 2 개의 공이 연속으로 꺼집니다. 두 공이 모두 빨간색일 확률은 얼마입니까?

해결책: 1가지 경우. 이벤트 A는 첫 번째 추첨에서 빨간 공이 나타나는 것이고, 이벤트 B는 두 번째 추첨에서 나타나는 것입니다. 사건 C – 두 개의 빨간 공이 등장합니다.

P(C) =P(A)*P(B/A) = (2/6)*(1/5) = 1/15

사례 2. 추첨된 첫 번째 공은 바스켓으로 반환됩니다.

P(C) =P(A)*P(B) = (2/6)*(2/6) = 1/9

총 확률 공식.

이벤트를 하자 호환되지 않는 이벤트 중 하나에서만 발생할 수 있습니다.
, 완전한 그룹을 형성합니다. 예를 들어, 한 매장이 세 기업으로부터 동일한 제품을 서로 다른 수량으로 수령합니다. 이러한 기업에서 품질이 낮은 제품을 생산할 가능성은 다양합니다. 제품 중 하나가 무작위로 선택됩니다. 이 제품의 품질이 좋지 않을 확률을 결정하는 것이 필요합니다(이벤트 ). 여기서 이벤트
– 해당 기업의 제품 중에서 제품을 선택하는 것입니다.

이 경우 사건이 일어날 확률은 사건의 곱의 합으로 간주될 수 있다.
.

호환되지 않는 사건의 확률을 추가하는 정리를 사용하여 우리는 다음을 얻습니다.
. 확률 곱셈 정리를 사용하여 우리는 다음을 찾습니다.

.

결과 공식은 다음과 같습니다. 총 확률 공식.

베이즈 공식

이벤트를 하자 중 하나와 동시에 발생합니다. 호환되지 않는 이벤트
, 그 확률은
(
)는 실험 전에 알려져 있습니다( 사전 확률). 실험이 수행되고 그 결과 이벤트 발생이 등록됩니다. , 그리고 이 사건은 특정한 조건부 확률을 가지고 있는 것으로 알려져 있습니다.
(
). 사건의 확률을 찾아야 한다
해당 이벤트가 발생한 것으로 알려진 경우 일어난 ( 사후 확률).

문제는 새로운 정보(사건 A 발생)가 있으면 사건의 확률을 재추정해야 한다는 것입니다.
.

두 사건의 곱의 확률에 관한 정리에 기초

.

결과 공식은 다음과 같습니다. 베이즈 공식.

조합론의 기본 개념.

다수의 이론적이고 실제적인 문제를 풀 때, 주어진 규칙에 따라 유한한 요소 집합으로부터 다양한 조합을 생성하고 가능한 모든 조합의 수를 계산하는 것이 필요합니다. 이러한 작업은 일반적으로 호출됩니다. 조합의.

문제를 풀 때 조합주의자들은 합과 곱의 법칙을 사용합니다.

사건의 의존성은 다음과 같이 이해됩니다. 확률적인의미는 있지만 기능적이지는 않습니다. 이는 종속 이벤트 중 하나의 발생을 기반으로 다른 이벤트의 발생을 명확하게 판단할 수 없음을 의미합니다. 확률적 의존성은 종속 사건 중 하나의 발생이 다른 사건의 발생 확률만을 변경한다는 것을 의미합니다. 확률이 변하지 않으면 사건은 독립적인 것으로 간주됩니다.

정의: 임의의 확률 공간을 두고 임의의 사건을 가정합니다. 그들은 말한다 이벤트 ㅏ사건에 좌우되지 않는다 안에 , 조건부 확률이 무조건 확률과 일치하는 경우:

.

만약에 , 그런 다음 그들은 이벤트가 ㅏ이벤트에 따라 다름 안에.

독립의 개념은 대칭적입니다. 즉, 사건이 발생하면 ㅏ사건에 좌우되지 않는다 안에, 그 다음에는 이벤트 안에사건에 좌우되지 않는다 ㅏ. 과연, 하자 . 그 다음에 . 그러므로 그들은 단순히 이벤트라고 말합니다. ㅏ그리고 안에독립적인.

사건의 독립성에 대한 다음과 같은 대칭 정의는 확률 곱셈의 규칙을 따릅니다.

정의: 이벤트 ㅏ그리고 안에,동일한 확률 공간에서 정의된 독립적인, 만약에

만약에 , 이벤트 ㅏ그리고 안에호출된다 매달린.

이 정의는 다음과 같은 경우에도 유효합니다. 또는 .

독립 이벤트의 속성.

1. 이벤트가 있는 경우 ㅏ그리고 안에독립이면 다음 이벤트 쌍도 독립입니다.

▲ 예를 들어 사건의 독립성을 증명해 보겠습니다. 어떤 사건을 상상해 보자 ㅏ처럼: . 이벤트가 호환되지 않으므로 이벤트의 독립성으로 인해 ㅏ그리고 안에우리는 그것을 얻습니다. 이것이 바로 독립을 의미합니다. ■

2. 이벤트가 발생한 경우 ㅏ사건에 의존하지 않는다 1에그리고 2시에, 일관성이 없습니다 () , 그 사건 ㅏ금액에 좌우되지 않습니다.

▲ 실제로 사건의 확률과 독립성의 가산성 공리를 이용하여 ㅏ이벤트에서 1에그리고 2시에, 우리는 다음을 가지고 있습니다 :

독립성과 비호환성의 개념 사이의 관계.

허락하다 ㅏ그리고 안에- 확률이 0이 아닌 모든 이벤트: , 따라서 . 이벤트의 경우 ㅏ그리고 안에불일치()하면 평등은 결코 이루어질 수 없습니다. 따라서, 호환되지 않는 이벤트는 종속적입니다..

두 개 이상의 사건을 동시에 고려하는 경우, 쌍별 독립성은 전체 그룹의 사건 간의 관계를 충분히 특성화하지 못합니다. 이 경우 집합체의 독립성 개념이 도입됩니다.

정의: 동일한 확률 공간에 정의된 사건을 호출합니다. 집합적으로 독립하다, 만약 있다면 2 £ m £ n그리고 어떤 인덱스 조합이라도 동등성은 참입니다:

~에 m = 2집합체의 독립성으로부터 사건의 쌍별 독립성을 따릅니다. 그 반대는 사실이 아닙니다.

예. (번스타인 S.N.)

무작위 실험에는 정사면체(사면체)를 던지는 작업이 포함됩니다. 쓰러진 얼굴이 관찰된다. 정사면체의 면은 다음과 같이 색상이 지정됩니다. 첫 번째 면은 흰색, 두 번째 면은 검정색,
세 번째 면은 빨간색이고, 네 번째 면에는 모든 색상이 포함되어 있습니다.

이벤트를 고려해 봅시다:

ㅏ= (흰색 드롭아웃); 비= (검은색 드롭아웃);

씨= (빨간색 드롭).

그 다음에 ;

그러므로 이벤트 ㅏ, 안에그리고 와 함께쌍별 독립이다.

하지만, .

따라서 이벤트 ㅏ, 안에그리고 와 함께집단적으로 독립적이지 않습니다.

실제로, 원칙적으로 사건의 독립성은 정의에 따라 확인함으로써 확립되지 않지만 반대로 사건은 일부 외부 고려 사항이나 무작위 실험 상황을 고려하여 독립적인 것으로 간주되며 독립성을 찾는 데 사용됩니다. 사건이 발생할 확률.

정리(독립적인 사건에 대한 확률의 곱셈).

동일한 확률 공간에 정의된 사건이 ​​집합적으로 독립적인 경우 해당 곱의 확률은 확률의 곱과 같습니다.

▲ 정리의 증거는 이 경우에

예제 1 (조건부 확률, 독립 개념, 확률 덧셈 정리에 대한 전형적인 예)

전기 회로는 독립적으로 작동하는 세 개의 요소로 구성됩니다. 각 요소의 실패 확률은 각각 동일합니다.

1) 회로의 고장 확률을 구합니다.

2) 회로가 고장난 것으로 알려져 있습니다.

거절할 확률은 얼마입니까?

a) 첫 번째 요소; b) 세 번째 요소?

해결책.사건을 고려하십시오 = (거부됨 케이번째 요소) 및 이벤트 ㅏ= (회로가 실패했습니다). 그럼 이벤트는 ㅏ다음과 같이 표시됩니다.

.

1) 사건이 양립할 수 없기 때문에 확률의 가산성 공리 P3)은 적용할 수 없으며 확률을 찾으려면 확률 덧셈의 일반 정리를 사용해야 합니다.

문제에 대한 일반적인 설명: 일부 사건의 확률이 알려져 있으므로 이러한 사건과 관련된 다른 사건의 확률을 계산해야 합니다. 이러한 문제에서는 확률의 덧셈, 곱셈 등 확률을 이용한 연산이 필요합니다.

예를 들어, 사냥하는 동안 두 발의 총알이 발사됩니다. 이벤트 ㅏ- 첫 번째 샷으로 오리를 맞추는 이벤트 비- 두 번째 샷에서 맞았습니다. 그러면 사건의 합은 ㅏ그리고 비- 첫 번째 또는 두 번째 샷으로 공격하거나 두 발로 공격합니다.

다른 유형의 문제. 예를 들어 동전을 세 번 던지는 등 여러 가지 이벤트가 제공됩니다. 문장이 세 번 모두 나타날 확률, 또는 문장이 적어도 한 번 나타날 확률을 찾아야 합니다. 확률곱셈 문제입니다.

호환되지 않는 사건의 확률 추가

확률 덧셈은 무작위 사건의 조합 또는 논리적 합의 확률을 계산해야 할 때 사용됩니다.

이벤트 합계 ㅏ그리고 비나타내다 ㅏ + 비또는 ㅏ ∪ 비. 두 사건의 합은 사건 중 적어도 하나가 발생하는 경우에만 발생하는 사건입니다. 그것은 다음을 의미합니다 ㅏ + 비– 관찰 중에 사건이 발생한 경우에만 발생하는 사건 ㅏ또는 이벤트 비, 또는 동시에 ㅏ그리고 비.

이벤트가 발생하면 ㅏ그리고 비서로 불일치하고 확률이 주어지면 한 번의 시행 결과로 이러한 사건 중 하나가 발생할 확률은 확률을 추가하여 계산됩니다.

확률 덧셈 정리.서로 양립할 수 없는 두 사건 중 하나가 발생할 확률은 이러한 사건의 확률을 합한 것과 같습니다.

예를 들어, 사냥하는 동안 두 발의 총알이 발사됩니다. 이벤트 ㅏ– 첫 번째 샷으로 오리를 맞추는 이벤트 안에– 두 번째 샷의 히트, 이벤트 ( ㅏ+ 안에) – 첫 번째 또는 두 번째 발 또는 두 발의 안타. 그렇다면 두 가지 사건이 있다면 ㅏ그리고 안에– 호환되지 않는 이벤트 ㅏ+ 안에– 이러한 사건 중 적어도 하나 또는 두 가지 사건의 발생.

예시 1.상자 안에 같은 크기의 공 30개가 있습니다: 빨간색 10개, 파란색 5개, 흰색 15개. 흰색이 아닌 색깔 있는 공을 보지 않고 집어들 확률을 계산하세요.

해결책. 이벤트가 있다고 가정해보자. ㅏ- "빨간 공을 가져갔다", 그리고 이벤트 안에- "파란 공을 가져갔습니다." 그런 다음 이벤트는 "색이 있는(흰색이 아닌) 공을 가져옵니다."입니다. 사건의 확률을 구해보자 ㅏ:

그리고 이벤트 안에:

이벤트 ㅏ그리고 안에– 하나의 공을 가져오면 서로 다른 색상의 공을 가져오는 것이 불가능하므로 상호 호환되지 않습니다. 따라서 우리는 확률 추가를 사용합니다.

여러 호환되지 않는 사건에 대한 확률을 추가하는 정리.사건이 완전한 사건 집합으로 구성된 경우 확률의 합은 1과 같습니다.

반대 사건의 확률의 합도 1과 같습니다.

반대 사건은 완전한 사건 집합을 형성하며, 완전한 사건 집합의 확률은 1입니다.

반대 사건의 확률은 일반적으로 소문자로 표시됩니다. 피그리고 큐. 특히,

반대 사건의 확률에 대한 다음 공식은 다음과 같습니다.

예시 2.사격장의 표적은 3개 구역으로 나누어진다. 특정 사수가 첫 번째 구역에서 목표물을 쏠 확률은 0.15, 두 번째 구역에서는 0.23, 세 번째 구역에서는 0.17입니다. 사수가 목표물에 맞을 확률과 사수가 목표물을 놓칠 확률을 구하십시오.

해결 방법: 범인이 목표물에 맞을 확률을 구하십시오.

범인이 목표물을 놓칠 확률을 구해 봅시다:

확률의 덧셈과 곱셈을 모두 사용해야 하는 더 복잡한 문제는 "확률의 덧셈과 곱셈을 포함하는 다양한 문제" 페이지에서 찾을 수 있습니다.

상호 동시적인 사건의 확률 추가

한 사건의 발생이 동일한 관찰에서 두 번째 사건의 발생을 배제하지 않는 경우 두 개의 무작위 사건을 결합이라고 합니다. 예를 들어, 주사위를 던지면 이벤트가 발생합니다. ㅏ숫자 4가 출시되는 것으로 간주되며 이벤트는 안에– 짝수를 굴립니다. 4는 짝수이므로 두 사건이 호환됩니다. 실제로, 상호 동시적인 사건 중 하나가 발생할 확률을 계산하는 데 문제가 있습니다.

공동 사건에 대한 확률 추가 정리.결합 사건 중 하나가 발생할 확률은 이들 사건의 확률의 합과 동일하며, 여기에서 두 사건이 공통적으로 발생할 확률, 즉 확률의 곱을 뺍니다. 공동 사건의 확률에 대한 공식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이벤트 이후 ㅏ그리고 안에호환 가능, 이벤트 ㅏ+ 안에세 가지 가능한 이벤트 중 하나가 발생하면 발생합니다. 또는 AB. 호환되지 않는 사건 덧셈 정리에 따라 다음과 같이 계산합니다.

이벤트 ㅏ두 가지 호환되지 않는 이벤트 중 하나가 발생하면 발생합니다. AB. 그러나 여러 호환되지 않는 사건에서 하나의 사건이 발생할 확률은 이러한 모든 사건의 확률의 합과 같습니다.

비슷하게:

식 (6)과 (7)을 식 (5)에 대입하면 결합 사건에 대한 확률 공식을 얻을 수 있습니다.

공식 (8)을 사용할 때 다음과 같은 이벤트를 고려해야 합니다. ㅏ그리고 안에다음과 같을 수 있습니다:

• 상호 독립적;
• 상호 의존적입니다.

상호 독립된 사건의 확률 공식:

상호 의존적인 사건의 확률 공식:

이벤트가 발생하면 ㅏ그리고 안에일치하지 않는다면, 그들의 일치는 불가능한 경우이고, 따라서, 피(AB) = 0. 호환되지 않는 사건에 대한 네 번째 확률 공식은 다음과 같습니다.

예시 3.자동차 경주에서는 첫 번째 차를 운전할 때 승리 확률이 더 높고, 두 번째 차를 운전하면 승리할 확률이 더 높습니다. 찾다:

• 두 자동차가 모두 승리할 확률;
• 적어도 한 대의 자동차가 승리할 확률;

1) 첫 번째 자동차가 승리할 확률은 두 번째 자동차의 결과에 좌우되지 않으므로 이벤트는 ㅏ(첫 번째 차가 승리합니다) 그리고 안에(두 번째 차가 승리합니다) – 독립 이벤트. 두 자동차가 모두 이길 확률을 구해 봅시다:

2) 두 대의 자동차 중 하나가 승리할 확률을 구하십시오.

확률의 덧셈과 곱셈을 모두 사용해야 하는 더 복잡한 문제는 "확률의 덧셈과 곱셈을 포함하는 다양한 문제" 페이지에서 찾을 수 있습니다.

확률 덧셈 문제를 스스로 해결한 후 해결책을 살펴보세요.

예시 4.동전 2개가 던져집니다. 이벤트 ㅏ- 첫 번째 동전의 문장이 손실되었습니다. 이벤트 비- 두 번째 동전의 문장이 손실되었습니다. 사건의 확률 찾기 씨 = ㅏ + 비 .

확률의 곱셈

확률 곱셈은 사건의 논리적 곱의 확률을 계산해야 할 때 사용됩니다.

이 경우 무작위 사건은 독립적이어야 합니다. 한 사건의 발생이 두 번째 사건의 발생 확률에 영향을 미치지 않는 경우 두 사건은 상호 독립이라고 합니다.

독립 사건에 대한 확률 곱셈 정리.두 개의 독립적인 사건이 동시에 발생할 확률 ㅏ그리고 안에는 이러한 사건의 확률을 곱한 것과 동일하며 다음 공식으로 계산됩니다.

실시예 5.동전은 세 번 연속으로 던져집니다. 문장이 세 번 모두 나타날 확률을 구하십시오.

해결책. 첫 번째, 두 번째, 세 번째 동전을 던질 때 문장이 나타날 확률입니다. 문장이 세 번 모두 나타날 확률을 구해 보겠습니다.

확률 곱셈 문제를 스스로 해결한 후 해결책을 살펴보세요.

실시예 6. 9개의 새 테니스 공이 들어 있는 상자가 있습니다. 플레이하려면 세 개의 공을 가져오고 게임이 끝나면 다시 넣습니다. 공을 선택할 때, 플레이된 볼은 플레이되지 않은 볼과 구별되지 않습니다. 3경기 후에 박스 안에 플레이되지 않은 공이 하나도 남지 않을 확률은 얼마입니까?

실시예 7.컷아웃 알파벳 카드에는 러시아 알파벳 32자가 적혀 있습니다. 5장의 카드를 무작위로 한 장씩 뽑아서 나오는 순서대로 테이블 위에 놓습니다. 그 글자가 "end"라는 단어를 형성할 확률을 구하십시오.

실시예 8.전체 카드 덱(52장)에서 한 번에 4장의 카드를 꺼냅니다. 이 네 장의 카드가 모두 서로 다른 무늬일 확률을 찾아보세요.

실시예 9.예제 8과 동일한 작업이지만 제거된 각 카드는 덱으로 반환됩니다.

확률의 덧셈과 곱셈을 모두 사용해야 하고 여러 사건의 곱을 계산해야 하는 더 복잡한 문제는 "확률의 덧셈과 곱셈을 포함하는 다양한 문제" 페이지에서 찾을 수 있습니다.

상호 독립적인 사건 중 적어도 하나가 발생할 확률은 1에서 반대 사건의 확률의 곱을 빼는 것, 즉 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

수학의 통합 상태 시험 과제에는 (1부에서 고려한 것보다) 더 복잡한 확률 문제도 있습니다. 여기서는 덧셈, 확률 곱셈 규칙을 적용하고 호환 가능한 이벤트와 호환되지 않는 이벤트를 구별해야 합니다.

그래서 이론.

공동 및 비합동 이벤트

이벤트 중 하나의 발생이 다른 이벤트의 발생을 배제하는 경우 이벤트를 호환 불가능이라고 합니다. 즉, 하나의 특정 이벤트 또는 다른 이벤트만 발생할 수 있습니다.

예를 들어, 주사위를 던질 때 짝수 점수를 얻는 이벤트와 홀수 점수를 얻는 이벤트를 구분할 수 있습니다. 이러한 이벤트는 호환되지 않습니다.

사건 중 하나의 발생이 다른 사건의 발생을 배제하지 않는 경우 사건을 결합이라고 합니다.

예를 들어, 주사위를 던질 때 홀수 개의 점수가 나오는 이벤트와 3의 배수인 점수가 나오는 이벤트를 구분할 수 있습니다. 3이 나오면 두 가지 사건이 모두 발생합니다.

이벤트 합계

여러 사건의 합(또는 조합)은 이러한 사건 중 적어도 하나의 발생으로 구성된 사건입니다.

여기서 두 개의 호환되지 않는 이벤트의 합 다음 사건이 발생할 확률의 합은 다음과 같습니다.

예를 들어, 주사위를 한 번 던져 5점 또는 6점을 얻을 확률은 가 됩니다. 왜냐하면 두 이벤트(5번 굴림, 6번 굴림)가 일관되지 않고 하나 또는 다른 이벤트가 발생할 확률이 다음과 같이 계산되기 때문입니다.

확률 두 개의 공동 이벤트의 합 공동 발생을 고려하지 않고 이러한 사건의 확률의 합과 같습니다.

예를 들어, 쇼핑센터에서는 두 대의 동일한 기계가 커피를 판매합니다. 하루가 끝날 때까지 기계에 커피가 떨어질 확률은 0.3입니다. 두 기계 모두 커피가 떨어질 확률은 0.12입니다. 하루가 끝날 때까지 적어도 하나의 기계(즉, 둘 중 하나 또는 둘 다)에서 커피가 떨어질 확률을 찾아봅시다.

조건에 따른 첫 번째 이벤트인 '첫 번째 머신에서 커피가 떨어질' 확률과 두 번째 이벤트인 '두 번째 머신에서 커피가 떨어질' 확률은 0.3입니다. 이벤트는 협력적입니다.

조건에 따라 처음 두 사건이 동시에 발생할 확률은 0.12입니다.

이는 하루가 끝날 때까지 적어도 하나의 기계에서 커피가 떨어질 확률이 다음과 같다는 것을 의미합니다.

종속 및 독립 이벤트

두 개의 무작위 사건 A와 B 중 하나의 발생이 다른 사건의 발생 확률을 변경하지 않는 경우 독립이라고 합니다. 그렇지 않으면 사건 A와 B를 종속 사건이라고 합니다.

예를 들어, 두 개의 주사위를 동시에 굴릴 때 그 중 하나는 1이고 다른 하나는 5가 독립적인 사건입니다.

확률의 곱

여러 사건의 곱(또는 교차점)은 이러한 모든 사건의 공동 발생으로 구성된 사건입니다.

두 가지가 발생하는 경우 독립 이벤트 A와 B가 각각 확률 P(A)와 P(B)를 갖는 경우, 사건 A와 B가 동시에 발생할 확률은 확률의 곱과 같습니다.

예를 들어, 우리는 주사위에 6이 두 번 연속 나타나는 것을 보는 데 관심이 있습니다. 두 사건은 모두 독립적이며 각 사건이 개별적으로 발생할 확률은 입니다. 이 두 가지 사건이 모두 발생할 확률은 위 공식을 사용하여 계산됩니다.

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